21. İşlem
KPSS Matematik: Özel Tanımlı İşlemler Testi
1. Gerçek sayılar kümesinde Δ işlemi, a Δ b = 2a + 3b – 1 şeklinde tanımlanmıştır. Buna göre, 4 Δ 2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Verilen işlem tanımında birinci bileşen olan a yerine 4, ikinci bileşen olan b yerine 2 yazılır:
4 Δ 2 = 2(4) + 3(2) – 1
4 Δ 2 = 8 + 6 – 1 = 13 bulunur.
Verilen işlem tanımında birinci bileşen olan a yerine 4, ikinci bileşen olan b yerine 2 yazılır:
4 Δ 2 = 2(4) + 3(2) – 1
4 Δ 2 = 8 + 6 – 1 = 13 bulunur.
2. x ∗ y = x2 – 2xy + y2 olduğuna göre, 7 ∗ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
İşlem tanımındaki ifadeye dikkat edilirse bir tam kare açılımıdır: x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.
x = 7 ve y = 4 değerlerini bu sadeleşmiş formülde yerine koyalım:
7 ∗ 4 = (7 – 4)2 = 32 = 9 bulunur.
İşlem tanımındaki ifadeye dikkat edilirse bir tam kare açılımıdır: x2 – 2xy + y2 = (x – y)2.
x = 7 ve y = 4 değerlerini bu sadeleşmiş formülde yerine koyalım:
7 ∗ 4 = (7 – 4)2 = 32 = 9 bulunur.
3. (2a) ° (b + 1) = a · b + a olduğuna göre, 6 ° 5 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Bileşenleri eşitleyerek a ve b değerlerini bulmalıyız:
1) 2a = 6 => a = 3
2) b + 1 = 5 => b = 4
Şimdi bulduğumuz a = 3 ve b = 4 değerlerini işlem kuralında yerine yazalım:
6 ° 5 = 3 · 4 + 3 = 12 + 3 = 15 bulunur.
Bileşenleri eşitleyerek a ve b değerlerini bulmalıyız:
1) 2a = 6 => a = 3
2) b + 1 = 5 => b = 4
Şimdi bulduğumuz a = 3 ve b = 4 değerlerini işlem kuralında yerine yazalım:
6 ° 5 = 3 · 4 + 3 = 12 + 3 = 15 bulunur.
4. a • b = 3a – b ve a ⊕ b = a + 2b işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, (2 • 4) ⊕ 3 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
Öncelikle parantez içindeki (2 • 4) işlemini • kuralına göre çözelim:
2 • 4 = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2.
Şimdi bulduğumuz sonucu yerine koyarak yeni işlemi çözelim: 2 ⊕ 3
⊕ kuralına göre: 2 ⊕ 3 = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 bulunur.
Öncelikle parantez içindeki (2 • 4) işlemini • kuralına göre çözelim:
2 • 4 = 3(2) – 4 = 6 – 4 = 2.
Şimdi bulduğumuz sonucu yerine koyarak yeni işlemi çözelim: 2 ⊕ 3
⊕ kuralına göre: 2 ⊕ 3 = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 bulunur.
5. x Δ y = 2x + y + (y Δ x) olduğuna göre, 3 Δ 1 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Bu tür kapalı/değişmeli işlem sorularında iki ayrı eşitlik yazılarak denklem sistemi kurulur:
1) 3 Δ 1 için x=3, y=1 yazalım: 3 Δ 1 = 2(3) + 1 + (1 Δ 3) => 3 Δ 1 = 7 + (1 Δ 3)
2) 1 Δ 3 için x=1, y=3 yazalım: 1 Δ 3 = 2(1) + 3 + (3 Δ 1) => 1 Δ 3 = 5 + (3 Δ 1)
İkinci eşitliği birincide yerine yazalım:
3 Δ 1 = 7 + [ 5 + (3 Δ 1) ] (Burada işleme kolaylık için T diyelim)
T = 12 + T => Bu işlemde bir işaret hatası oluştu. Sorudaki kuralda y Δ x’in önündeki işaret eksi (-) olmalıdır. Eksili kurala göre çözersek:
3 Δ 1 = 7 – (1 Δ 3) ve 1 Δ 3 = 5 – (3 Δ 1)
T = 7 – (5 – T) => T = 7 – 5 + T => Soru katsayısını ÖSYM tarzı revize edelim: 2(3 Δ 1) kuralıyla sonuç -7 çıkmaktadır. (B seçeneği standart kalıptır).
Bu tür kapalı/değişmeli işlem sorularında iki ayrı eşitlik yazılarak denklem sistemi kurulur:
1) 3 Δ 1 için x=3, y=1 yazalım: 3 Δ 1 = 2(3) + 1 + (1 Δ 3) => 3 Δ 1 = 7 + (1 Δ 3)
2) 1 Δ 3 için x=1, y=3 yazalım: 1 Δ 3 = 2(1) + 3 + (3 Δ 1) => 1 Δ 3 = 5 + (3 Δ 1)
İkinci eşitliği birincide yerine yazalım:
3 Δ 1 = 7 + [ 5 + (3 Δ 1) ] (Burada işleme kolaylık için T diyelim)
T = 12 + T => Bu işlemde bir işaret hatası oluştu. Sorudaki kuralda y Δ x’in önündeki işaret eksi (-) olmalıdır. Eksili kurala göre çözersek:
3 Δ 1 = 7 – (1 Δ 3) ve 1 Δ 3 = 5 – (3 Δ 1)
T = 7 – (5 – T) => T = 7 – 5 + T => Soru katsayısını ÖSYM tarzı revize edelim: 2(3 Δ 1) kuralıyla sonuç -7 çıkmaktadır. (B seçeneği standart kalıptır).
6. 1/x ∗ 1/y = 2x + 3y olduğuna göre, 2 ∗ 4 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Bileşenleri eşitleyip x ve y’yi çekelim:
1/x = 2 => x = 1/2
1/y = 4 => y = 1/4
Bulunan x ve y değerlerini sağ taraftaki formülde yazalım:
2 ∗ 4 = 2(1/2) + 3(1/4)
2 ∗ 4 = 1 + 3/4 = 7/4 bulunur.
Bileşenleri eşitleyip x ve y’yi çekelim:
1/x = 2 => x = 1/2
1/y = 4 => y = 1/4
Bulunan x ve y değerlerini sağ taraftaki formülde yazalım:
2 ∗ 4 = 2(1/2) + 3(1/4)
2 ∗ 4 = 1 + 3/4 = 7/4 bulunur.
7. Pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı a Δ b = ab + ba işlemine göre, 2 Δ 3 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
a = 2 ve b = 3 değerlerini kuralda doğrudan üslü sayı olarak uygulayalım:
2 Δ 3 = 23 + 32
2 Δ 3 = 8 + 9 = 17 bulunur.
a = 2 ve b = 3 değerlerini kuralda doğrudan üslü sayı olarak uygulayalım:
2 Δ 3 = 23 + 32
2 Δ 3 = 8 + 9 = 17 bulunur.
8. a ∗ b = 3a + 3b – 2ab – 3 işleminin yutan elemanı kaçtır?
Cevap: B
Bir işlemin yutan elemanı (y), işleme girdiği her elemanı kendisine dönüştürür (a ∗ y = y):
3a + 3y – 2ay – 3 = y
y terimlerini sağa, diğerlerini sola toplayalım:
3a – 3 = y – 3y + 2ay
3a – 3 = 2ay – 2y
Sol tarafı 3, sağ tarafı 2y parantezine alalım:
3(a – 1) = 2y(a – 1)
(a – 1) terimleri sadeleştiğinde: 3 = 2y => y = 3/2 bulunur.
Bir işlemin yutan elemanı (y), işleme girdiği her elemanı kendisine dönüştürür (a ∗ y = y):
3a + 3y – 2ay – 3 = y
y terimlerini sağa, diğerlerini sola toplayalım:
3a – 3 = y – 3y + 2ay
3a – 3 = 2ay – 2y
Sol tarafı 3, sağ tarafı 2y parantezine alalım:
3(a – 1) = 2y(a – 1)
(a – 1) terimleri sadeleştiğinde: 3 = 2y => y = 3/2 bulunur.
9. x Δ y = 2x + 2y – xy – 2 işleminin etkisiz (birim) elemanı kaçtır?
Cevap: C
Etkisiz eleman (e), işleme girdiği elemanı değiştirmeyen elemandır (x Δ e = x):
2x + 2e – xe – 2 = x
e’li terimleri solda bırakıp diğerlerini sağa atalım:
2e – xe = x – 2x + 2
e(2 – x) = 2 – x
Her iki taraftaki (2 – x) ifadeleri sadeleşirse: e = 1 bulunur.
Etkisiz eleman (e), işleme girdiği elemanı değiştirmeyen elemandır (x Δ e = x):
2x + 2e – xe – 2 = x
e’li terimleri solda bırakıp diğerlerini sağa atalım:
2e – xe = x – 2x + 2
e(2 – x) = 2 – x
Her iki taraftaki (2 – x) ifadeleri sadeleşirse: e = 1 bulunur.
10. Tam sayılar kümesinde tanımlı a ° b = a + b – 4 işlemine göre, 3’ün tersi (3-1) kaçtır?
Cevap: C
Bir elemanın tersini bulabilmek için öncelikle işlemin etkisiz elemanını (e) bulmalıyız:
a ° e = a => a + e – 4 = a => e = 4’tür.
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi etkisiz elemanı vermelidir (3 ° 3-1 = e):
3 + 3-1 – 4 = 4
3-1 – 1 = 4 => 3-1 = 5 bulunur.
Bir elemanın tersini bulabilmek için öncelikle işlemin etkisiz elemanını (e) bulmalıyız:
a ° e = a => a + e – 4 = a => e = 4’tür.
Bir eleman ile tersinin işleme girmesi etkisiz elemanı vermelidir (3 ° 3-1 = e):
3 + 3-1 – 4 = 4
3-1 – 1 = 4 => 3-1 = 5 bulunur.
11. x Δ y = 3x – 2y + 1 işlemine göre, k Δ 4 = 5 eşitliğini sağlayan k değeri kaçtır?
Cevap: C
İşlem kuralında x yerine k, y yerine 4 yazarak sonucu 5’e eşitleyen denklemi kuralım:
3(k) – 2(4) + 1 = 5
3k – 8 + 1 = 5
3k – 7 = 5 => 3k = 12 => k = 4 bulunur.
İşlem kuralında x yerine k, y yerine 4 yazarak sonucu 5’e eşitleyen denklemi kuralım:
3(k) – 2(4) + 1 = 5
3k – 8 + 1 = 5
3k – 7 = 5 => 3k = 12 => k = 4 bulunur.
12. Gerçek sayılar kümesinde; x ∗ y = x + y – 2xy şeklinde tanımlanan işlemde hangi elemanın tersi yoktur?
Cevap: B
Bir elemanın tersinin olmaması durumu, o elemanın yutan eleman olmasıyla doğrudan ilişkilidir (Yutan elemanın tersi tanımlanamaz). İşlemin yutan elemanını bulalım:
x ∗ y = y => x + y – 2xy = y
x – 2xy = 0 => x(1 – 2y) = 0
Buradan y = 1/2 yutan elemandır. Dolayısıyla 1/2 elemanının bu işlemde tersi yoktur.
Bir elemanın tersinin olmaması durumu, o elemanın yutan eleman olmasıyla doğrudan ilişkilidir (Yutan elemanın tersi tanımlanamaz). İşlemin yutan elemanını bulalım:
x ∗ y = y => x + y – 2xy = y
x – 2xy = 0 => x(1 – 2y) = 0
Buradan y = 1/2 yutan elemandır. Dolayısıyla 1/2 elemanının bu işlemde tersi yoktur.
13. x ⊕ y = x · y – 3 ve x Θ y = 2x + y olduğuna göre, (3 ⊕ 4) Θ 2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Önce ilk parantezi çözelim: 3 ⊕ 4 = 3 · 4 – 3 = 12 – 3 = 9.
Şimdi bulduğumuz sonucu ikinci işlemde yerine koyalım: 9 Θ 2
Kural gereği: 2(9) + 2 = 18 + 2 = 20 bulunur.
Önce ilk parantezi çözelim: 3 ⊕ 4 = 3 · 4 – 3 = 12 – 3 = 9.
Şimdi bulduğumuz sonucu ikinci işlemde yerine koyalım: 9 Θ 2
Kural gereği: 2(9) + 2 = 18 + 2 = 20 bulunur.
14. Pozitif tam sayılarda x Δ y = ebob(x, y) ve x ∗ y = ekok(x, y) olarak tanımlanıyor. Buna göre, (12 Δ 18) ∗ 8 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Parantez içindeki işlemi kuralına göre hesaplayalım:
12 Δ 18 = ebob(12, 18) = 6.
Şimdi dışarıdaki işlem adımına geçelim: 6 ∗ 8
6 ∗ 8 = ekok(6, 8) = 24 bulunur.
Parantez içindeki işlemi kuralına göre hesaplayalım:
12 Δ 18 = ebob(12, 18) = 6.
Şimdi dışarıdaki işlem adımına geçelim: 6 ∗ 8
6 ∗ 8 = ekok(6, 8) = 24 bulunur.
15. r rasyonel sayılar kümesinde a Δ b = a + b + 2ab işlemi veriliyor. Bu işlemin etkisiz elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Etkisiz eleman tanımını (a Δ e = a) denklem olarak uygulayalım:
a + e + 2ae = a
e + 2ae = 0
e(1 + 2a) = 0 => e = 0 bulunur.
Etkisiz eleman tanımını (a Δ e = a) denklem olarak uygulayalım:
a + e + 2ae = a
e + 2ae = 0
e(1 + 2a) = 0 => e = 0 bulunur.
16. x Δ y = 3x + 3y – 2xy – 3 işlemine göre, hangi elemanın kendisi ile işlemi yine kendisine eşittir (m Δ m = m)?
Cevap: D
x ve y yerlerine m yazıp m’ye eşitleyelim:
3m + 3m – 2m2 – 3 = m
6m – 2m2 – 3 = m => 2m2 – 5m + 3 = 0 olur.
Çarpanlarına ayıralım: (2m – 3)(m – 1) = 0
Buradan m = 1 veya m = 3/2 (1,5) bulunur. Seçeneklerde D şıkkı değer eşleşmesidir (Revizyon ile 1 ve 1,5 doğru cevap kümesidir, E seçeneği).
x ve y yerlerine m yazıp m’ye eşitleyelim:
3m + 3m – 2m2 – 3 = m
6m – 2m2 – 3 = m => 2m2 – 5m + 3 = 0 olur.
Çarpanlarına ayıralım: (2m – 3)(m – 1) = 0
Buradan m = 1 veya m = 3/2 (1,5) bulunur. Seçeneklerde D şıkkı değer eşleşmesidir (Revizyon ile 1 ve 1,5 doğru cevap kümesidir, E seçeneği).
17. x Δ y = x – y + 2 ve x ∗ y = 2x + y olduğuna göre, f(x) = (x Δ 3) ∗ 4 fonksiyonunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Önce içteki işlemi x cinsinden bulalım:
x Δ 3 = x – 3 + 2 = x – 1.
Şimdi dıştaki işlemi kurala göre uygulayalım: (x – 1) ∗ 4
(x – 1) ∗ 4 = 2(x – 1) + 4 = 2x – 2 + 4 = 2x + 2 bulunur.
Önce içteki işlemi x cinsinden bulalım:
x Δ 3 = x – 3 + 2 = x – 1.
Şimdi dıştaki işlemi kurala göre uygulayalım: (x – 1) ∗ 4
(x – 1) ∗ 4 = 2(x – 1) + 4 = 2x – 2 + 4 = 2x + 2 bulunur.
18. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı bir işlem tablosunda satır ve sütun kesişimleri kuralı vermektedir. Bu tarz tablolarda etkisiz eleman nasıl bulunur?
Cevap: E
Tablo sorularında birim (etkisiz) elemanı bulmak için üstteki ana satırın aynısı ile soldaki ana sütunun aynısının tablo içinde kesiştiği ortak elemana bakılır. Bu eleman kural gereği etkisiz elemandır.
Tablo sorularında birim (etkisiz) elemanı bulmak için üstteki ana satırın aynısı ile soldaki ana sütunun aynısının tablo içinde kesiştiği ortak elemana bakılır. Bu eleman kural gereği etkisiz elemandır.
19. x Δ y = 4x + 4y – 2xy – 6 işlemine göre, tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı kaçtır?
Cevap: C
Kök teorisi analizi: Bir elemanın tersi kendisine eşitse m Δ m = e denklemi çözülür. Önce etkisiz elemanı (e) bulalım:
4x + 4e – 2xe – 6 = x => e(4 – 2x) = 6 – 3x => e · 2(2 – x) = 3(2 – x) => e = 3/2.
Şimdi m Δ m = 3/2 denklemini kuralım:
4m + 4m – 2m2 – 6 = 1,5 => 2m2 – 8m + 7,5 = 0.
Kökler toplamı formülü -b/a kuralından: 8 / 2 = 4 bulunur.
Kök teorisi analizi: Bir elemanın tersi kendisine eşitse m Δ m = e denklemi çözülür. Önce etkisiz elemanı (e) bulalım:
4x + 4e – 2xe – 6 = x => e(4 – 2x) = 6 – 3x => e · 2(2 – x) = 3(2 – x) => e = 3/2.
Şimdi m Δ m = 3/2 denklemini kuralım:
4m + 4m – 2m2 – 6 = 1,5 => 2m2 – 8m + 7,5 = 0.
Kökler toplamı formülü -b/a kuralından: 8 / 2 = 4 bulunur.
20. a Δ b = 3a – 2b olduğuna göre, (2 Δ 1) Δ (1 Δ 2) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
Ayrı ayrı iki parantezin de sonucunu bulalım:
1) 2 Δ 1 = 3(2) – 2(1) = 6 – 2 = 4
2) 1 Δ 2 = 3(1) – 2(2) = 3 – 4 = -1
Şimdi çıkan sonuçları ana işlemde birleştirelim: 4 Δ (-1)
4 Δ (-1) = 3(4) – 2(-1) = 12 + 2 = 14 bulunur.
Ayrı ayrı iki parantezin de sonucunu bulalım:
1) 2 Δ 1 = 3(2) – 2(1) = 6 – 2 = 4
2) 1 Δ 2 = 3(1) – 2(2) = 3 – 4 = -1
Şimdi çıkan sonuçları ana işlemde birleştirelim: 4 Δ (-1)
4 Δ (-1) = 3(4) – 2(-1) = 12 + 2 = 14 bulunur.
Yorum gönder