19. Permütasyon – Kombinasyon
KPSS Matematik: Permütasyon – Kombinasyon Testi
1. 5 kişi yan yana duran 5 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir?
Cevap: C
n farklı nesnenin yan yana düz bir sırada sıralanış sayısı n! (n faktöriyel) ile hesaplanır.
5 kişinin yan yana dizilim sayısı: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 farklı şekilde gerçekleşir.
n farklı nesnenin yan yana düz bir sırada sıralanış sayısı n! (n faktöriyel) ile hesaplanır.
5 kişinin yan yana dizilim sayısı: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 farklı şekilde gerçekleşir.
2. “KELEBEK” kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Cevap: A
Bazı elemanları özdeş olan sıralamalarda tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
“KELEBEK” kelimesinde toplam 7 harf vardır. Harflerin tekrar sayıları:
E harfi: 3 adet, K harfi: 2 adet, L harfi: 1 adet, B harfi: 1 adet.
Formül: Toplam Harf Sayısı! / (Tekrar Edenlerin Sayısı!)
Sonuç = 7! / (3! · 2!) = (7 · 6 · 5 · 4 · 3!) / (3! · 2 · 1) = 840 / 2 = 420 bulunur.
Bazı elemanları özdeş olan sıralamalarda tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
“KELEBEK” kelimesinde toplam 7 harf vardır. Harflerin tekrar sayıları:
E harfi: 3 adet, K harfi: 2 adet, L harfi: 1 adet, B harfi: 1 adet.
Formül: Toplam Harf Sayısı! / (Tekrar Edenlerin Sayısı!)
Sonuç = 7! / (3! · 2!) = (7 · 6 · 5 · 4 · 3!) / (3! · 2 · 1) = 840 / 2 = 420 bulunur.
3. P(n, 2) = 30 olduğuna göre, n kaçtır?
Cevap: C
P(n, r) permütasyon ifadesi, n sayısından başlayarak geriye doğru r adet sayının çarpımı anlamına gelir:
P(n, 2) = n · (n – 1) = 30
Ardışık hangi iki sayının çarpımı 30’dur diye düşündüğümüzde: 6 · 5 = 30 olduğundan n = 6 bulunur.
P(n, r) permütasyon ifadesi, n sayısından başlayarak geriye doğru r adet sayının çarpımı anlamına gelir:
P(n, 2) = n · (n – 1) = 30
Ardışık hangi iki sayının çarpımı 30’dur diye düşündüğümüzde: 6 · 5 = 30 olduğundan n = 6 bulunur.
4. C(n, 2) = 21 olduğuna göre, n kaçtır?
Cevap: C
C(n, r) kombinasyon (seçim) formülü: [ n · (n – 1) · … (r tane) ] / r! şeklindedir.
C(n, 2) = [ n · (n – 1) ] / 2! = 21
n · (n – 1) = 21 · 2 => n · (n – 1) = 42
Ardışık iki sayının çarpımı 42 ise, bu sayılar 7 ve 6’dır (7 · 6 = 42). Buradan n = 7 bulunur.
C(n, r) kombinasyon (seçim) formülü: [ n · (n – 1) · … (r tane) ] / r! şeklindedir.
C(n, 2) = [ n · (n – 1) ] / 2! = 21
n · (n – 1) = 21 · 2 => n · (n – 1) = 42
Ardışık iki sayının çarpımı 42 ise, bu sayılar 7 ve 6’dır (7 · 6 = 42). Buradan n = 7 bulunur.
5. C(n, 3) = C(n, 4) olduğuna göre, C(n, 2) kombinasyonunun değeri kaçtır?
Cevap: B
Kombinasyon kurallarına göre, C(n, a) = C(n, b) eşitliğinde eğer a eşit değildir b ise, altların toplamı üstteki sayıya eşittir (n = a + b).
Buna göre: n = 3 + 4 = 7 bulunur.
Bizden istenen C(7, 2) değeridir:
C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 42 / 2 = 21 olur.
Kombinasyon kurallarına göre, C(n, a) = C(n, b) eşitliğinde eğer a eşit değildir b ise, altların toplamı üstteki sayıya eşittir (n = a + b).
Buna göre: n = 3 + 4 = 7 bulunur.
Bizden istenen C(7, 2) değeridir:
C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 42 / 2 = 21 olur.
6. 3 mimar ve 2 mühendis, mimarlar bir arada (yan yana) olmak şartıyla düz bir sıraya kaç farklı şekilde sıralanabilirler?
Cevap: C
Yan yana olmaları istenen gruplar tek bir eleman (paket) gibi kabul edilir.
3 mimarı bir paket yapalım: (MMM)
Geriye 2 mühendis kalır: Mü1, Mü2.
Toplam eleman sayısı: 1 paket + 2 mühendis = 3 eleman. Bu 3 eleman kendi arasında 3! kadar yer değiştirir.
Paket içerisindeki 3 mimar da kendi arasında 3! kadar yer değiştirir.
Sonuç: 3! · 3! = 6 · 6 = 36 farklı şekilde sıralanırlar.
Yan yana olmaları istenen gruplar tek bir eleman (paket) gibi kabul edilir.
3 mimarı bir paket yapalım: (MMM)
Geriye 2 mühendis kalır: Mü1, Mü2.
Toplam eleman sayısı: 1 paket + 2 mühendis = 3 eleman. Bu 3 eleman kendi arasında 3! kadar yer değiştirir.
Paket içerisindeki 3 mimar da kendi arasında 3! kadar yer değiştirir.
Sonuç: 3! · 3! = 6 · 6 = 36 farklı şekilde sıralanırlar.
7. Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile, anne ve baba uçlarda (iki uçta) olmak şartıyla yan yana kaç farklı fotoğraf çektirebilirler?
Cevap: B
Anne ve babanın uçlarda olma durumu 2 çeşittir: (Anne…Baba) veya (Baba…Anne). Yani anne ve baba kendi arasında 2! kadar yer değiştirir.
Aralarında kalan 3 çocuk ise orta kısımdaki 3 yere özgürce 3! kadar sıralanabilir.
Toplam dizilim sayısı: 2! · 3! = 2 · 6 = 12 farklı şekilde hesaplanır.
Anne ve babanın uçlarda olma durumu 2 çeşittir: (Anne…Baba) veya (Baba…Anne). Yani anne ve baba kendi arasında 2! kadar yer değiştirir.
Aralarında kalan 3 çocuk ise orta kısımdaki 3 yere özgürce 3! kadar sıralanabilir.
Toplam dizilim sayısı: 2! · 3! = 2 · 6 = 12 farklı şekilde hesaplanır.
8. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 3 basamaklı kaç farklı ÇİFT sayı yazılabilir?
Cevap: B
3 basamaklı bir sayının çift olabilmesi için birler basamağına çift rakam gelmelidir. Kümedeki çift rakamlar: {2, 4} (2 seçenek).
Kutucuk yöntemini uygulayalım: [_] [_] [_]
Birler basamağı: 2 seçenek (2 veya 4’ten biri yazıldı).
Rakamları farklı dendiği için, kullanılan bir rakam eksilir. Toplam 5 rakam vardı, geriye 4 rakam kaldı.
Yüzler basamağı: 4 seçenek.
Onlar basamağı: kalan 3 seçenek.
Toplam sayı adedi: 4 · 3 · 2 = 24 farklı çift sayı yazılabilir.
3 basamaklı bir sayının çift olabilmesi için birler basamağına çift rakam gelmelidir. Kümedeki çift rakamlar: {2, 4} (2 seçenek).
Kutucuk yöntemini uygulayalım: [_] [_] [_]
Birler basamağı: 2 seçenek (2 veya 4’ten biri yazıldı).
Rakamları farklı dendiği için, kullanılan bir rakam eksilir. Toplam 5 rakam vardı, geriye 4 rakam kaldı.
Yüzler basamağı: 4 seçenek.
Onlar basamağı: kalan 3 seçenek.
Toplam sayı adedi: 4 · 3 · 2 = 24 farklı çift sayı yazılabilir.
9. B = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 3 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Cevap: A
Sıfır rakamı içeren küme sorularında yüzler basamağına sıfır gelemez, bu kurala dikkat edilmelidir.
Yüzler basamağı için: 0 hariç {1, 2, 3, 4} olmak üzere 4 seçenek vardır.
Onlar basamağı için: Kullanılan bir rakam elendi (4 rakam kaldı ancak artık 0 sayısı devreye girebilir), dolayısıyla yine 4 seçenek kalır.
Birler basamağı için: Kalan 3 rakam yazılabilir (3 seçenek).
Çarpım kuralı gereği: 4 · 4 · 3 = 48 farklı sayı yazılabilir.
Sıfır rakamı içeren küme sorularında yüzler basamağına sıfır gelemez, bu kurala dikkat edilmelidir.
Yüzler basamağı için: 0 hariç {1, 2, 3, 4} olmak üzere 4 seçenek vardır.
Onlar basamağı için: Kullanılan bir rakam elendi (4 rakam kaldı ancak artık 0 sayısı devreye girebilir), dolayısıyla yine 4 seçenek kalır.
Birler basamağı için: Kalan 3 rakam yazılabilir (3 seçenek).
Çarpım kuralı gereği: 4 · 4 · 3 = 48 farklı sayı yazılabilir.
10. 6 erkek ve 4 kadın arasından 2 erkek ve 2 kadından oluşan 4 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?
Cevap: C
Grup içerisinden seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır. Erkekler ve kadınlar ayrı ayrı seçilip çarpılır:
6 erkek arasından 2 erkek: C(6, 2) = (6 · 5) / (2 · 1) = 15
4 kadın arasından 2 kadın: C(4, 2) = (4 · 3) / (2 · 1) = 6
Toplam komisyon seçimi: 15 · 6 = 90 farklı şekilde yapılabilir.
Grup içerisinden seçim yapıldığı için kombinasyon formülü uygulanır. Erkekler ve kadınlar ayrı ayrı seçilip çarpılır:
6 erkek arasından 2 erkek: C(6, 2) = (6 · 5) / (2 · 1) = 15
4 kadın arasından 2 kadın: C(4, 2) = (4 · 3) / (2 · 1) = 6
Toplam komisyon seçimi: 15 · 6 = 90 farklı şekilde yapılabilir.
11. 5 doktor ve 4 hemşire arasından en az bir hemşire bulunan 3 kişilik bir sağlık ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir?
Cevap: C
“En az bir” tarzı sorularda pratik yol: Tüm olası durumlardan, istenmeyen durumu (hiç hemşire olmama yani sadece doktorlardan oluşma durumunu) çıkarmaktır.
Toplam kişi sayısı: 5 + 4 = 9 kişi.
Tüm 3 kişilik gruplar: C(9, 3) = (9 · 8 · 7) / (3 · 2 · 1) = 84
İstenmeyen durum (Sadece doktor seçimi): C(5, 3) = C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10
En az bir hemşire bulunan ekip sayısı: 84 – 10 = 74 farklı şekilde oluşturulur.
“En az bir” tarzı sorularda pratik yol: Tüm olası durumlardan, istenmeyen durumu (hiç hemşire olmama yani sadece doktorlardan oluşma durumunu) çıkarmaktır.
Toplam kişi sayısı: 5 + 4 = 9 kişi.
Tüm 3 kişilik gruplar: C(9, 3) = (9 · 8 · 7) / (3 · 2 · 1) = 84
İstenmeyen durum (Sadece doktor seçimi): C(5, 3) = C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10
En az bir hemşire bulunan ekip sayısı: 84 – 10 = 74 farklı şekilde oluşturulur.
12. Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 noktadan en çok kaç farklı doğru geçer?
Cevap: B
Geometride iki noktadan yalnız bir doğru geçer. Bu yüzden n tane nokta ile oluşturulabilecek doğru sayısı C(n, 2) kombinasyonu ile bulunur.
7 nokta ile: C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 42 / 2 = 21 farklı doğru çizilebilir.
Geometride iki noktadan yalnız bir doğru geçer. Bu yüzden n tane nokta ile oluşturulabilecek doğru sayısı C(n, 2) kombinasyonu ile bulunur.
7 nokta ile: C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 42 / 2 = 21 farklı doğru çizilebilir.
13. Bir çember üzerindeki 6 nokta kullanılarak, köşeleri bu noktalar olan en fazla kaç farklı üçgen çizilebilir?
Cevap: B
Bir üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olamayacağından doğrudan kombinasyon alınır:
C(6, 3) = (6 · 5 · 4) / (3 · 2 · 1) = 120 / 6 = 20 farklı üçgen çizilebilir.
Bir üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. Çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olamayacağından doğrudan kombinasyon alınır:
C(6, 3) = (6 · 5 · 4) / (3 · 2 · 1) = 120 / 6 = 20 farklı üçgen çizilebilir.
14. 4 yatay ve 5 düşey paralel doğrunun kesişmesiyle kaç farklı paralelkenar oluşur?
Cevap: C
Bir paralelkenar oluşturabilmek için 2 adet yatay paralel doğruya ve 2 adet düşey paralel doğruya ihtiyaç vardır.
Yatay doğruların seçimi: C(4, 2) = (4 · 3) / (2 · 1) = 6
Düşey doğruların seçimi: C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10
Toplam paralelkenar sayısı: 6 · 10 = 60 adet olarak hesaplanır.
Bir paralelkenar oluşturabilmek için 2 adet yatay paralel doğruya ve 2 adet düşey paralel doğruya ihtiyaç vardır.
Yatay doğruların seçimi: C(4, 2) = (4 · 3) / (2 · 1) = 6
Düşey doğruların seçimi: C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10
Toplam paralelkenar sayısı: 6 · 10 = 60 adet olarak hesaplanır.
15. 8 seçmeli dersten 3’ü aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden 3 ders seçmek isteyen bir öğrencinin kaç farklı seçeneği vardır?
Cevap: C
Aynı saatte verilen 3 dersten en fazla 1 tanesi seçilebilir. Öğrenci 3 dersi şu iki duruma göre seçebilir:
1. Durum: Aynı saatteki 3 dersten 1 tane seçer, kalan farklı saatteki 5 dersten 2 tane seçer:
C(3, 1) · C(5, 2) = 3 · 10 = 30
2. Durum: Aynı saatteki derslerden hiç seçmez, kalan farklı saatteki 5 dersten 3 tane seçer:
C(3, 0) · C(5, 3) = 1 · 10 = 10
Toplam seçenek sayısı: 30 + 10 = 40 farklı şekilde olur.
Aynı saatte verilen 3 dersten en fazla 1 tanesi seçilebilir. Öğrenci 3 dersi şu iki duruma göre seçebilir:
1. Durum: Aynı saatteki 3 dersten 1 tane seçer, kalan farklı saatteki 5 dersten 2 tane seçer:
C(3, 1) · C(5, 2) = 3 · 10 = 30
2. Durum: Aynı saatteki derslerden hiç seçmez, kalan farklı saatteki 5 dersten 3 tane seçer:
C(3, 0) · C(5, 3) = 1 · 10 = 10
Toplam seçenek sayısı: 30 + 10 = 40 farklı şekilde olur.
16. Bir sokak haritasında birbirini dik kesen sokaklar çizgilerle gösterilmiştir. A noktasından en kısa yoldan B noktasına gitmek isteyen biri 3 sokak sağa (doğuya), 2 sokak yukarıya (kuzeye) gitmelidir. Bu kişi B noktasına kaç farklı yoldan ulaşabilir?
Cevap: A
Bu tarz ızgara/yol soruları tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür.
Kişinin yapması gereken hamleler: Sağa (S, S, S) ve Yukarı (Y, Y) olmak üzere toplam 5 adımdır.
Hamle kalıbı: SSSYY dizilim sayısıdır.
Formül: 5! / (3! · 2!) = (5 · 4 · 3!) / (3! · 2 · 1) = 20 / 2 = 10 farklı en kısa yol bulunur.
Bu tarz ızgara/yol soruları tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür.
Kişinin yapması gereken hamleler: Sağa (S, S, S) ve Yukarı (Y, Y) olmak üzere toplam 5 adımdır.
Hamle kalıbı: SSSYY dizilim sayısıdır.
Formül: 5! / (3! · 2!) = (5 · 4 · 3!) / (3! · 2 · 1) = 20 / 2 = 10 farklı en kısa yol bulunur.
17. 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Cevap: C
En az 5 elemanlı demek; 5 elemanlı, 6 elemanlı ve 7 elemanlı alt kümelerin toplamı demektir:
= C(7, 5) + C(7, 6) + C(7, 7)
C(7, 5) = C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 21
C(7, 6) = C(7, 1) = 7
C(7, 7) = 1
Toplam alt küme sayısı: 21 + 7 + 1 = 29 bulunur.
En az 5 elemanlı demek; 5 elemanlı, 6 elemanlı ve 7 elemanlı alt kümelerin toplamı demektir:
= C(7, 5) + C(7, 6) + C(7, 7)
C(7, 5) = C(7, 2) = (7 · 6) / (2 · 1) = 21
C(7, 6) = C(7, 1) = 7
C(7, 7) = 1
Toplam alt küme sayısı: 21 + 7 + 1 = 29 bulunur.
18. Özdeş 3 oyuncak, 2 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
Cevap: B
Özdeş nesne dağıtım sorularında “Ayraç Yöntemi” kullanılır.
3 özdeş oyuncak için 3 adet yuvarlak (ooo) çizelim. 2 çocuğa bölüştürmek için 2 – 1 = 1 adet ayraç (|) gerekir.
Elemanlarımız: o, o, o, | toplam 4 elemandır.
Bu elemanların tekrarlı permütasyon sıralaması: 4! / 3! = 4 farklı durum oluşturur.
(Durumlar: 3-0, 2-1, 1-2, 0-3 şeklindedir).
Özdeş nesne dağıtım sorularında “Ayraç Yöntemi” kullanılır.
3 özdeş oyuncak için 3 adet yuvarlak (ooo) çizelim. 2 çocuğa bölüştürmek için 2 – 1 = 1 adet ayraç (|) gerekir.
Elemanlarımız: o, o, o, | toplam 4 elemandır.
Bu elemanların tekrarlı permütasyon sıralaması: 4! / 3! = 4 farklı durum oluşturur.
(Durumlar: 3-0, 2-1, 1-2, 0-3 şeklindedir).
19. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A’dan B’ye kaç farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir?
Cevap: B
Birebir fonksiyonda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmelidir. Eşleşme sayılarını çarpalım:
A kümesindeki ‘1’ elemanı için B kümesinde 4 seçenek vardır.
A kümesindeki ‘2’ elemanı için kalan 3 seçenek vardır.
A kümesindeki ‘3’ elemanı için kalan 2 seçenek vardır.
Toplam birebir fonksiyon sayısı: 4 · 3 · 2 = 24 farklı şekilde bulunur.
Birebir fonksiyonda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmelidir. Eşleşme sayılarını çarpalım:
A kümesindeki ‘1’ elemanı için B kümesinde 4 seçenek vardır.
A kümesindeki ‘2’ elemanı için kalan 3 seçenek vardır.
A kümesindeki ‘3’ elemanı için kalan 2 seçenek vardır.
Toplam birebir fonksiyon sayısı: 4 · 3 · 2 = 24 farklı şekilde bulunur.
20. a < b < c şartını sağlayan kaç farklı üç basamaklı abc doğal sayısı yazılabilir?
Cevap: A
Üç basamaklı abc sayısında yüzler basamağındaki ‘a’ sayısı en küçük sayıdır. Sayının 3 basamaklı kalabilmesi için a sıfır olamaz. Dolayısıyla sıfır rakamı bu sıralamada hiç kullanılamaz.
Kullanabileceğimiz rakam kümesi: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (9 adet rakam).
Bu 9 rakam içerisinden seçeceğimiz her 3’lü grup, kendi içinde küçükten büyüğe otomatik olarak yalnızca tek bir şekilde (a < b < c) dizilebilir. Yani sadece seçim yapmamız yeterlidir:
C(9, 3) = (9 · 8 · 7) / (3 · 2 · 1) = 504 / 6 = 84 farklı abc sayısı yazılabilir.
Üç basamaklı abc sayısında yüzler basamağındaki ‘a’ sayısı en küçük sayıdır. Sayının 3 basamaklı kalabilmesi için a sıfır olamaz. Dolayısıyla sıfır rakamı bu sıralamada hiç kullanılamaz.
Kullanabileceğimiz rakam kümesi: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (9 adet rakam).
Bu 9 rakam içerisinden seçeceğimiz her 3’lü grup, kendi içinde küçükten büyüğe otomatik olarak yalnızca tek bir şekilde (a < b < c) dizilebilir. Yani sadece seçim yapmamız yeterlidir:
C(9, 3) = (9 · 8 · 7) / (3 · 2 · 1) = 504 / 6 = 84 farklı abc sayısı yazılabilir.
Yorum gönder