9. Köklü İfadeler
KPSS Matematik: Köklü İfadeler Testi
1. √16 + 3√-8 – √25 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
Her bir köklü ifadeyi kök dışına çıkaralım:
√16 = 4 (Çünkü 42 = 16)
3√-8 = -2 (Çünkü (-2)3 = -8)
√25 = 5 (Çünkü 52 = 25)
İşlemleri birleştirelim: 4 + (-2) – 5 = 4 – 2 – 5 = -3 bulunur.
Her bir köklü ifadeyi kök dışına çıkaralım:
√16 = 4 (Çünkü 42 = 16)
3√-8 = -2 (Çünkü (-2)3 = -8)
√25 = 5 (Çünkü 52 = 25)
İşlemleri birleştirelim: 4 + (-2) – 5 = 4 – 2 – 5 = -3 bulunur.
2. A = √x – 4 + √10 – x ifadesi bir gerçek (reel) sayı belirttiğine göre, x’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Cevap: C
Derecesi çift (burada gizli 2 var) olan köklü ifadelerin gerçek sayı belirtmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir:
1) x – 4 ≥ 0 => x ≥ 4
2) 10 – x ≥ 0 => x ≤ 10
Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: 4 ≤ x ≤ 10 aralığını elde ederiz.
Bu aradaki tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere 7 tanedir.
Derecesi çift (burada gizli 2 var) olan köklü ifadelerin gerçek sayı belirtmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir:
1) x – 4 ≥ 0 => x ≥ 4
2) 10 – x ≥ 0 => x ≤ 10
Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: 4 ≤ x ≤ 10 aralığını elde ederiz.
Bu aradaki tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olmak üzere 7 tanedir.
3. √75 – √48 + √12 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Kök içindeki sayıları bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım:
√75 = √25 · 3 = 5√3
√48 = √16 · 3 = 4√3
√12 = √4 · 3 = 2√3
İfadeleri toplayıp çıkaralım: 5√3 – 4√3 + 2√3 = (5 – 4 + 2)√3 = 3√3 bulunur.
Kök içindeki sayıları bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım:
√75 = √25 · 3 = 5√3
√48 = √16 · 3 = 4√3
√12 = √4 · 3 = 2√3
İfadeleri toplayıp çıkaralım: 5√3 – 4√3 + 2√3 = (5 – 4 + 2)√3 = 3√3 bulunur.
4. (√3 · √15) / √5 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
Kök dereceleri eşit (2) olduğundan çarpma ve bölme işlemlerini tek bir kök içinde yapabiliriz:
√(3 · 15 / 5) = √(45 / 5) = √9
9 sayısı dışarıya 3 olarak çıkar. Sonuç 3’tür.
Kök dereceleri eşit (2) olduğundan çarpma ve bölme işlemlerini tek bir kök içinde yapabiliriz:
√(3 · 15 / 5) = √(45 / 5) = √9
9 sayısı dışarıya 3 olarak çıkar. Sonuç 3’tür.
5. 4 / √2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Paydayı kökten kurtarmak (eşlenik ile çarpmak) için kesri √2 ile genişletelim:
(4 · √2) / (√2 · √2) = (4√2) / 2
4 ile 2 sadeleştiğinde geriye 2√2 kalır.
Paydayı kökten kurtarmak (eşlenik ile çarpmak) için kesri √2 ile genişletelim:
(4 · √2) / (√2 · √2) = (4√2) / 2
4 ile 2 sadeleştiğinde geriye 2√2 kalır.
6. √2 · ( √18 – √8 ) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
√2’yi parantez içine dağıtarak çözebiliriz:
(√2 · √18) – (√2 · √8) = √36 – √16
√36 = 6 ve √16 = 4 olduğundan:
6 – 4 = 2 bulunur.
√2’yi parantez içine dağıtarak çözebiliriz:
(√2 · √18) – (√2 · √8) = √36 – √16
√36 = 6 ve √16 = 4 olduğundan:
6 – 4 = 2 bulunur.
7. 2 / (√3 – 1) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Paydayı rasyonel yapmak için kesri paydanın eşleniği olan (√3 + 1) ile genişletelim:
[ 2 · (√3 + 1) ] / [ (√3 – 1)(√3 + 1) ]
Payda kısmı iki kare farkından: (√3)2 – 12 = 3 – 1 = 2 olur.
İfade: [ 2 · (√3 + 1) ] / 2
Pay ve paydadaki 2’ler sadeleşir, geriye √3 + 1 kalır.
Paydayı rasyonel yapmak için kesri paydanın eşleniği olan (√3 + 1) ile genişletelim:
[ 2 · (√3 + 1) ] / [ (√3 – 1)(√3 + 1) ]
Payda kısmı iki kare farkından: (√3)2 – 12 = 3 – 1 = 2 olur.
İfade: [ 2 · (√3 + 1) ] / 2
Pay ve paydadaki 2’ler sadeleşir, geriye √3 + 1 kalır.
8. √2x – 3 = 5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Köklü ifadeden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
(√2x – 3)2 = 52
2x – 3 = 25
2x = 25 + 3 => 2x = 28 => x = 14 bulunur.
Köklü ifadeden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
(√2x – 3)2 = 52
2x – 3 = 25
2x = 25 + 3 => 2x = 28 => x = 14 bulunur.
9. 3√2x+1 = 4 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Köklü ifadeyi üslü sayı biçiminde yazalım: 2(x+1)/3
Sağ taraftaki 4 sayısını da 2 tabanına getirelim: 4 = 22
Denklem: 2(x+1)/3 = 22
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir:
(x + 1) / 3 = 2 => x + 1 = 6 => x = 5 bulunur.
Köklü ifadeyi üslü sayı biçiminde yazalım: 2(x+1)/3
Sağ taraftaki 4 sayısını da 2 tabanına getirelim: 4 = 22
Denklem: 2(x+1)/3 = 22
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir:
(x + 1) / 3 = 2 => x + 1 = 6 => x = 5 bulunur.
10. a = √2, b = 3√3, c = 6√5 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Köklü sayılarda sıralama yapabilmek için kök derecelerini eşitleyelim. Dereceler 2, 3 ve 6’dır. En küçük ortak katları 6’dır:
a = 2·3√23 = 6√8
b = 3·2√32 = 6√9
c = 6√5
Kök dereceleri eşitlendiğinde kök içi küçük olan daha küçüktür: 5 < 8 < 9 olduğundan sıralama c < a < b şeklindedir.
Köklü sayılarda sıralama yapabilmek için kök derecelerini eşitleyelim. Dereceler 2, 3 ve 6’dır. En küçük ortak katları 6’dır:
a = 2·3√23 = 6√8
b = 3·2√32 = 6√9
c = 6√5
Kök dereceleri eşitlendiğinde kök içi küçük olan daha küçüktür: 5 < 8 < 9 olduğundan sıralama c < a < b şeklindedir.
11. x < 0 olmak üzere, √x2 + 3√x3 – √(-x)2 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Kural: Çift dereceli kökler mutlak değerle, tek dereceli kökler aynen çıkar:
√x2 = |x| (x negatif olduğundan dışarı -x olarak çıkar)
3√x3 = x (Aynen çıkar)
√(-x)2 = |-x| (x negatif ise -x pozitiftir, dışarı aynen yani -x çıkar)
İfadeyi toparlayalım: (-x) + x – (-x) = -x + x + x = x çıkmalıdır. Tekrar dikkatlice çözelim:
|x| = -x. 3√x3 = x. |-x| = -x (çünkü x negatifse -x pozitiftir).
İşlem: (-x) + (x) – (-x) = -x + x + x = x. Seçenek düzeltmesi: Sonuç x’tir (A seçeneği).
Kural: Çift dereceli kökler mutlak değerle, tek dereceli kökler aynen çıkar:
√x2 = |x| (x negatif olduğundan dışarı -x olarak çıkar)
3√x3 = x (Aynen çıkar)
√(-x)2 = |-x| (x negatif ise -x pozitiftir, dışarı aynen yani -x çıkar)
İfadeyi toparlayalım: (-x) + x – (-x) = -x + x + x = x çıkmalıdır. Tekrar dikkatlice çözelim:
|x| = -x. 3√x3 = x. |-x| = -x (çünkü x negatifse -x pozitiftir).
İşlem: (-x) + (x) – (-x) = -x + x + x = x. Seçenek düzeltmesi: Sonuç x’tir (A seçeneği).
12. √2026 · 2024 + 1 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Sayıların ortasındaki değere bir değişken atayalım: 2025 = a olsun.
Bu durumda 2026 = a + 1 ve 2024 = a – 1 olur.
Kök içini yazalım: (a + 1)(a – 1) + 1
İki kare farkından: a2 – 1 + 1 = a2 kalır.
Kök dışına √a2 = a olarak çıkar. a değerine 2025 demiştik, cevap 2025 olur.
Sayıların ortasındaki değere bir değişken atayalım: 2025 = a olsun.
Bu durumda 2026 = a + 1 ve 2024 = a – 1 olur.
Kök içini yazalım: (a + 1)(a – 1) + 1
İki kare farkından: a2 – 1 + 1 = a2 kalır.
Kök dışına √a2 = a olarak çıkar. a değerine 2025 demiştik, cevap 2025 olur.
13. √8 + 2√15 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
√(a + 2√b) özel kalıbına uygundur. Çarpımları içteki b’yi (15), toplamları ise dıştaki a’yı (8) veren iki sayı bulmalıyız:
5 · 3 = 15 ve 5 + 3 = 8’dir.
Bu sayılar sağlandığı için ifade aradaki işaretle beraber ayrı köklerde yazılır: √5 + √3.
√(a + 2√b) özel kalıbına uygundur. Çarpımları içteki b’yi (15), toplamları ise dıştaki a’yı (8) veren iki sayı bulmalıyız:
5 · 3 = 15 ve 5 + 3 = 8’dir.
Bu sayılar sağlandığı için ifade aradaki işaretle beraber ayrı köklerde yazılır: √5 + √3.
14. ( √0,16 + √0,09 ) / √0,25 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
Ondalık ifadeleri rasyonel olarak kökten çıkaralım:
√0,16 = √(16/100) = 4/10 = 0,4
√0,09 = √(9/100) = 3/10 = 0,3
√0,25 = √(25/100) = 5/10 = 0,5
İşlem: (0,4 + 0,3) / 0,5 = 0,7 / 0,5 = 7/5 = 1,4 bulunur (B seçeneği).
Ondalık ifadeleri rasyonel olarak kökten çıkaralım:
√0,16 = √(16/100) = 4/10 = 0,4
√0,09 = √(9/100) = 3/10 = 0,3
√0,25 = √(25/100) = 5/10 = 0,5
İşlem: (0,4 + 0,3) / 0,5 = 0,7 / 0,5 = 7/5 = 1,4 bulunur (B seçeneği).
15. √3x = 27 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: D
İfadeyi üslü sayıya çevirelim: 3x/2
27 sayısını 3 tabanında yazalım: 27 = 33
3x/2 = 33 => x/2 = 3 => x = 6 bulunur.
İfadeyi üslü sayıya çevirelim: 3x/2
27 sayısını 3 tabanında yazalım: 27 = 33
3x/2 = 33 => x/2 = 3 => x = 6 bulunur.
16. ( √7 – √3 ) · ( √7 + √3 ) çarpımının sonucu kaçtır?
Cevap: B
Bu işlem iki kare farkı (a-b)(a+b) = a2 – b2 açılımıdır:
(√7)2 – (√3)2 = 7 – 3 = 4 bulunur.
Bu işlem iki kare farkı (a-b)(a+b) = a2 – b2 açılımıdır:
(√7)2 – (√3)2 = 7 – 3 = 4 bulunur.
17. √2 · √3 · √6 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Aynı dereceli köklü sayıları ortak tek bir kök altında çarpabiliriz:
√(2 · 3 · 6) = √36
36 sayısı dışarıya 6 olarak çıkar.
Aynı dereceli köklü sayıları ortak tek bir kök altında çarpabiliriz:
√(2 · 3 · 6) = √36
36 sayısı dışarıya 6 olarak çıkar.
18. 1 / √3 – 1 / √12 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
İlk olarak paydadaki √12 ifadesini dışarı çıkaralım: √12 = 2√3.
İşlem: 1/√3 – 1/(2√3) haline gelir.
Payda eşitlemek için birinci kesri 2 ile genişletelim:
2/(2√3) – 1/(2√3) = 1/(2√3)
Paydayı kökten kurtarmak için √3 ile genişletelim:
√3 / (2 · 3) = √3 / 6 bulunur.
İlk olarak paydadaki √12 ifadesini dışarı çıkaralım: √12 = 2√3.
İşlem: 1/√3 – 1/(2√3) haline gelir.
Payda eşitlemek için birinci kesri 2 ile genişletelim:
2/(2√3) – 1/(2√3) = 1/(2√3)
Paydayı kökten kurtarmak için √3 ile genişletelim:
√3 / (2 · 3) = √3 / 6 bulunur.
19. √x + √x + √x = 12 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Sol tarafta 3 tane √x ifadesinin toplamı yer almaktadır:
3√x = 12
Her iki tarafı 3’e bölersek: √x = 4 olur.
Karesini aldığımızda: x = 16 bulunur.
Sol tarafta 3 tane √x ifadesinin toplamı yer almaktadır:
3√x = 12
Her iki tarafı 3’e bölersek: √x = 4 olur.
Karesini aldığımızda: x = 16 bulunur.
20. ( √18 + √32 ) / √2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Pay kısmındaki ifadeleri düzenleyelim:
√18 = 3√2
√32 = 4√2
Pay toplamı: 3√2 + 4√2 = 7√2
Paydaya bölelim: 7√2 / √2 = 7 bulunur.
Pay kısmındaki ifadeleri düzenleyelim:
√18 = 3√2
√32 = 4√2
Pay toplamı: 3√2 + 4√2 = 7√2
Paydaya bölelim: 7√2 / √2 = 7 bulunur.
Yorum gönder