18. Modüler Aritmetik
KPSS Matematik: Modüler Aritmetik Testi
1. 2026 ≡ x (mod 7) denkliğini sağlayan x değeri kaçtır?
Cevap: C
2026 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulmalıyız:
2026 / 7 işleminde bölüm 289’dur.
289 · 7 = 2023 yapar.
Kalan: 2026 – 2023 = 3 bulunur. O halde x = 3’tür.
2026 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulmalıyız:
2026 / 7 işleminde bölüm 289’dur.
289 · 7 = 2023 yapar.
Kalan: 2026 – 2023 = 3 bulunur. O halde x = 3’tür.
2. -17 ≡ x (mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
Cevap: C
Modüler aritmetikte negatif sayıların kalanını bulmak için, sayı pozitif olana kadar üzerine modun katları eklenir:
-17 + 5 = -12
-12 + 5 = -7
-7 + 5 = -2
-2 + 5 = 3 bulunur.
(Pratik olarak -17’den büyük, 5’in en küçük katı olan 20 eklenirse: -17 + 20 = 3 elde edilir).
Modüler aritmetikte negatif sayıların kalanını bulmak için, sayı pozitif olana kadar üzerine modun katları eklenir:
-17 + 5 = -12
-12 + 5 = -7
-7 + 5 = -2
-2 + 5 = 3 bulunur.
(Pratik olarak -17’den büyük, 5’in en küçük katı olan 20 eklenirse: -17 + 20 = 3 elde edilir).
3. 340 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: A
3’ün kuvvetlerinin mod 5’teki kalanlarının tekrar periyodunu bulalım:
31 ≡ 3 (mod 5)
32 = 9 ≡ 4 (mod 5)
33 = 12 ≡ 2 (mod 5)
34 = 6 ≡ 1 (mod 5) -> Kalan 1 bulunduğunda periyot tamamlanır.
Her 4 kuvvette bir kalan başa dönmektedir. Üssü periyoda bölelim:
40 / 4 işleminden kalan 0’dır. Kalan 0 olduğunda tam katı olan 4. adıma bakılır.
34 ≡ 1 olduğundan, 340 ≡ 1 (mod 5) bulunur.
3’ün kuvvetlerinin mod 5’teki kalanlarının tekrar periyodunu bulalım:
31 ≡ 3 (mod 5)
32 = 9 ≡ 4 (mod 5)
33 = 12 ≡ 2 (mod 5)
34 = 6 ≡ 1 (mod 5) -> Kalan 1 bulunduğunda periyot tamamlanır.
Her 4 kuvvette bir kalan başa dönmektedir. Üssü periyoda bölelim:
40 / 4 işleminden kalan 0’dır. Kalan 0 olduğunda tam katı olan 4. adıma bakılır.
34 ≡ 1 olduğundan, 340 ≡ 1 (mod 5) bulunur.
4. 72026 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Cevap: D
Bir sayının birler basamağını bulmak, o sayının mod 10’daki karşılığını bulmak demektir:
71 ≡ 7 (mod 10)
72 = 49 ≡ 9 (mod 10)
73 = 63 ≡ 3 (mod 10)
74 = 21 ≡ 1 (mod 10) -> Periyot 4’tür.
Üs olan 2026’yı 4’e bölelim. Son iki basamağa bakmak yeterlidir: 26 / 4 işleminden kalan 2’dir.
Bu durumda 2. adımdaki kalan geçerlidir: 72 ≡ 9 olduğundan birler basamağı 9’dur.
Bir sayının birler basamağını bulmak, o sayının mod 10’daki karşılığını bulmak demektir:
71 ≡ 7 (mod 10)
72 = 49 ≡ 9 (mod 10)
73 = 63 ≡ 3 (mod 10)
74 = 21 ≡ 1 (mod 10) -> Periyot 4’tür.
Üs olan 2026’yı 4’e bölelim. Son iki basamağa bakmak yeterlidir: 26 / 4 işleminden kalan 2’dir.
Bu durumda 2. adımdaki kalan geçerlidir: 72 ≡ 9 olduğundan birler basamağı 9’dur.
5. 2x + 3 ≡ 1 (mod 5) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
Cevap: D
Denklemi normal bir denklem gibi düzenleyelim:
2x ≡ 1 – 3 (mod 5)
2x ≡ -2 (mod 5)
Negatiflikten kurtarmak için sağ tarafa 5 ekleyelim:
2x ≡ 3 (mod 5)
x’i yalnız bırakmak için eşitliğin sağ tarafına x’in katsayısına (2) bölünebilecek hale gelene kadar modun değeri (5) eklenir:
3 + 5 = 8 => 2x ≡ 8 (mod 5)
Her iki tarafı 2’ye bölersek: x ≡ 4 (mod 5) elde edilir. En küçük pozitif tam sayı 4’tür.
Denklemi normal bir denklem gibi düzenleyelim:
2x ≡ 1 – 3 (mod 5)
2x ≡ -2 (mod 5)
Negatiflikten kurtarmak için sağ tarafa 5 ekleyelim:
2x ≡ 3 (mod 5)
x’i yalnız bırakmak için eşitliğin sağ tarafına x’in katsayısına (2) bölünebilecek hale gelene kadar modun değeri (5) eklenir:
3 + 5 = 8 => 2x ≡ 8 (mod 5)
Her iki tarafı 2’ye bölersek: x ≡ 4 (mod 5) elde edilir. En küçük pozitif tam sayı 4’tür.
6. Bugün günlerden Pazartesi olduğuna göre, 100 gün sonra hangi gündür?
Cevap: B
Gün soruları mod 7 sistemine dayanır (Hafta 7 gündür):
100 / 7 işleminde; 14 · 7 = 98 yapar.
Kalan: 100 – 98 = 2 gündür.
Pazartesi gününün üzerine 2 gün sayacağız:
1 gün sonra: Salı
2 gün sonra: Çarşamba bulunur.
Gün soruları mod 7 sistemine dayanır (Hafta 7 gündür):
100 / 7 işleminde; 14 · 7 = 98 yapar.
Kalan: 100 – 98 = 2 gündür.
Pazartesi gününün üzerine 2 gün sayacağız:
1 gün sonra: Salı
2 gün sonra: Çarşamba bulunur.
7. 5 günde bir nöbet tutan bir doktor, ilk nöbetini Cuma günü tutmuştur. Buna göre bu doktor 11. nöbetini hangi gün tutar?
Cevap: B
Doktor ilk nöbetini tuttuğu için tutması gereken 11 – 1 = 10 nöbet kalmıştır.
Her nöbet arası 5 gün olduğundan, toplam geçen süre: 10 · 5 = 50 gündür.
50 günün mod 7’deki karşılığını bulalım:
50 / 7 işleminde kalan 1’dir (7 · 7 = 49).
Cuma gününün üzerine 1 gün eklersek sonuç Cumartesi olur.
Doktor ilk nöbetini tuttuğu için tutması gereken 11 – 1 = 10 nöbet kalmıştır.
Her nöbet arası 5 gün olduğundan, toplam geçen süre: 10 · 5 = 50 gündür.
50 günün mod 7’deki karşılığını bulalım:
50 / 7 işleminde kalan 1’dir (7 · 7 = 49).
Cuma gününün üzerine 1 gün eklersek sonuç Cumartesi olur.
8. Bir asker 4 günde bir nöbet tutmaktadır. 4. nöbetini Salı günü tuttuğuna göre, 1. nöbetini hangi gün tutmuştur?
Cevap: E
Geçmişteki bir zamanı bulacağımız için geriye doğru gitmeliyiz.
4. nöbet ile 1. nöbet arasında 4 – 1 = 3 nöbet dönemi vardır.
Toplam gün sayısı: 3 · 4 = 12 gündür.
12 günün mod 7’deki karşılığı: 12 / 7 işleminden kalan 5 gündür.
Salı gününden 5 gün geriye gitmek gerekir. (Mod 7’de 5 gün geri gitmek, 2 gün ileri gitmekle aynıdır: 7 – 5 = 2).
Salı + 2 gün = Perşembe bulunur.
Geçmişteki bir zamanı bulacağımız için geriye doğru gitmeliyiz.
4. nöbet ile 1. nöbet arasında 4 – 1 = 3 nöbet dönemi vardır.
Toplam gün sayısı: 3 · 4 = 12 gündür.
12 günün mod 7’deki karşılığı: 12 / 7 işleminden kalan 5 gündür.
Salı gününden 5 gün geriye gitmek gerekir. (Mod 7’de 5 gün geri gitmek, 2 gün ileri gitmekle aynıdır: 7 – 5 = 2).
Salı + 2 gün = Perşembe bulunur.
9. (235 · 418) + 129 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
9 ile bölünebilme kuralı rakamlar toplamına dayanır. Her sayının ayrı ayrı kalanını bulalım:
235 => 2 + 3 + 5 = 10 ≡ 1 (mod 9)
418 => 4 + 1 + 8 = 13 ≡ 4 (mod 9)
129 => 1 + 2 + 9 = 12 ≡ 3 (mod 9)
Şimdi kalanları ana işlemde yerlerine koyalım:
(1 · 4) + 3 = 4 + 3 = 7 bulunur.
9 ile bölünebilme kuralı rakamlar toplamına dayanır. Her sayının ayrı ayrı kalanını bulalım:
235 => 2 + 3 + 5 = 10 ≡ 1 (mod 9)
418 => 4 + 1 + 8 = 13 ≡ 4 (mod 9)
129 => 1 + 2 + 9 = 12 ≡ 3 (mod 9)
Şimdi kalanları ana işlemde yerlerine koyalım:
(1 · 4) + 3 = 4 + 3 = 7 bulunur.
10. 3 · x ≡ 1 (mod 7) denkliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
Cevap: D
3x ≡ 1 (mod 7) ifadesinde x’i bulmak, 3’ün mod 7’deki çarpmaya göre tersini bulmak demektir.
Sağ taraftaki 1 sayısına, 3’e tam bölünecek bir sayı elde edene kadar 7 ekleyelim:
1 + 7 = 8 (3’e bölünmez)
8 + 7 = 15 (3’e tam bölünir).
Denklik şu hali alır: 3x ≡ 15 (mod 7)
Her iki tarafı 3’e bölersek: x ≡ 5 (mod 7) bulunur. En küçük pozitif tam sayı 5’tir.
3x ≡ 1 (mod 7) ifadesinde x’i bulmak, 3’ün mod 7’deki çarpmaya göre tersini bulmak demektir.
Sağ taraftaki 1 sayısına, 3’e tam bölünecek bir sayı elde edene kadar 7 ekleyelim:
1 + 7 = 8 (3’e bölünmez)
8 + 7 = 15 (3’e tam bölünir).
Denklik şu hali alır: 3x ≡ 15 (mod 7)
Her iki tarafı 3’e bölersek: x ≡ 5 (mod 7) bulunur. En küçük pozitif tam sayı 5’tir.
11. 573 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre, p bir asal sayı ve a ile p aralarında asal ise ap-1 ≡ 1 (mod p) olur.
7 asal sayı olduğundan: 56 ≡ 1 (mod 7) diyebiliriz (Periyot 6’dır).
Üssü periyoda bölelim: 73 / 6 işleminde bölüm 12, kalan ise 1’dir.
573 = (56)12 · 51 ≡ 112 · 5 = 5 (mod 7) bulunur.
Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre, p bir asal sayı ve a ile p aralarında asal ise ap-1 ≡ 1 (mod p) olur.
7 asal sayı olduğundan: 56 ≡ 1 (mod 7) diyebiliriz (Periyot 6’dır).
Üssü periyoda bölelim: 73 / 6 işleminde bölüm 12, kalan ise 1’dir.
573 = (56)12 · 51 ≡ 112 · 5 = 5 (mod 7) bulunur.
12. x ≡ 2 (mod 3) ve x ≡ 3 (mod 5) şartlarını sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
Cevap: B
İkinci denklikten yola çıkalım: x sayısı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermelidir.
Bu şartı sağlayan pozitif tam sayılar: 3, 8, 13, 18, … şeklindedir.
Bu sayıların mod 3’teki (3 ile bölümünden) kalanlarını inceleyelim:
3 ≡ 0 (mod 3)
8 ≡ 2 (mod 3) -> İlk denkliği de sağlayan sayıyı bulduk. En küçük değer 8’dir.
İkinci denklikten yola çıkalım: x sayısı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermelidir.
Bu şartı sağlayan pozitif tam sayılar: 3, 8, 13, 18, … şeklindedir.
Bu sayıların mod 3’teki (3 ile bölümünden) kalanlarını inceleyelim:
3 ≡ 0 (mod 3)
8 ≡ 2 (mod 3) -> İlk denkliği de sağlayan sayıyı bulduk. En küçük değer 8’dir.
13. 1! + 2! + 3! + … + 50! toplamının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: C
Faktöriyel içeren mod sorularında, mod değerinin çarpanını barındıran ilk adımdan sonrası sıfırlanır:
3! = 6 ≡ 0 (mod 6)
4! = 24 ≡ 0 (mod 6) ve sonraki tüm faktöriyellerin içinde 6 çarpanı olacağı için kalanlar hep 0 olacaktır.
Elimizde sadece ilk iki terim kalır:
1! + 2! = 1 + 2 = 3 bulunur.
Faktöriyel içeren mod sorularında, mod değerinin çarpanını barındıran ilk adımdan sonrası sıfırlanır:
3! = 6 ≡ 0 (mod 6)
4! = 24 ≡ 0 (mod 6) ve sonraki tüm faktöriyellerin içinde 6 çarpanı olacağı için kalanlar hep 0 olacaktır.
Elimizde sadece ilk iki terim kalır:
1! + 2! = 1 + 2 = 3 bulunur.
14. 25100 sayısının son iki basamağı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Son iki basamağı bulmak, ifadenin mod 100’deki değerini aramaktır:
251 ≡ 25 (mod 100)
252 = 625 ≡ 25 (mod 100)
Görüldüğü üzere 25 sayısının tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son iki basamağı daima 25 kalmaktadır. Bu yüzden cevap 25’tir.
Son iki basamağı bulmak, ifadenin mod 100’deki değerini aramaktır:
251 ≡ 25 (mod 100)
252 = 625 ≡ 25 (mod 100)
Görüldüğü üzere 25 sayısının tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son iki basamağı daima 25 kalmaktadır. Bu yüzden cevap 25’tir.
15. Zeynep 3 günde bir, Elif ise 4 günde bir dans kursuna gitmektedir. İkisi birlikte ilk kez Çarşamba günü kursa gittiklerine göre, birlikte 3. kez hangi gün giderler?
Cevap: C
Birlikte kaç günde bir kursa gittiklerini bulmak için EKOK hesaplamalıyız:
EKOK(3, 4) = 12 gün.
İlk kez beraber gittikleri için, 3. kez karşılaşmalarına kadar 3 – 1 = 2 periyot geçmelidir.
Toplam süre: 2 · 12 = 24 gün olur.
24 günün mod 7 karşılığı: 24 / 7 işleminden kalan 3 gündür.
Çarşamba gününün üzerine 3 gün ekleyelim:
Çarşamba + 3 = Cumartesi bulunur.
Birlikte kaç günde bir kursa gittiklerini bulmak için EKOK hesaplamalıyız:
EKOK(3, 4) = 12 gün.
İlk kez beraber gittikleri için, 3. kez karşılaşmalarına kadar 3 – 1 = 2 periyot geçmelidir.
Toplam süre: 2 · 12 = 24 gün olur.
24 günün mod 7 karşılığı: 24 / 7 işleminden kalan 3 gündür.
Çarşamba gününün üzerine 3 gün ekleyelim:
Çarşamba + 3 = Cumartesi bulunur.
16. 22026 + 32026 toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: C
Her iki tabanın da mod 5 altındaki periyodu 4’tür (Fermat Teoremi gereği a4 ≡ 1 mod 5).
Üs olan 2026’nın 4 ile bölümünden kalan 26 / 4 => 2’dir.
İşlemi şu hale getirebiliriz:
22 + 32 = 4 + 9 = 13
13 sayısının 5 ile bölümünden kalan ise 3 bulunur.
Her iki tabanın da mod 5 altındaki periyodu 4’tür (Fermat Teoremi gereği a4 ≡ 1 mod 5).
Üs olan 2026’nın 4 ile bölümünden kalan 26 / 4 => 2’dir.
İşlemi şu hale getirebiliriz:
22 + 32 = 4 + 9 = 13
13 sayısının 5 ile bölümünden kalan ise 3 bulunur.
17. Z ⁄ 7 (Mod 7 kalan sınıfları) kümesinde, 3x + 1 ≡ 4 denkliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Denklemi çözelim:
3x ≡ 4 – 1 (mod 7)
3x ≡ 3 (mod 7)
Her iki tarafı da 3’e bölersek:
x ≡ 1 (mod 7) elde edilir. Cevap 1’dir.
Denklemi çözelim:
3x ≡ 4 – 1 (mod 7)
3x ≡ 3 (mod 7)
Her iki tarafı da 3’e bölersek:
x ≡ 1 (mod 7) elde edilir. Cevap 1’dir.
18. 112026 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
Öncelikle tabanı küçültelim: 11 ≡ 2 (mod 9). Soru 22026 (mod 9) ifadesine dönüştü.
2’nin kuvvetlerinin mod 9’daki periyodunu bulalım:
21 ≡ 2, 22 ≡ 4, 23 ≡ 8, 24 = 16 ≡ 7, 25 = 14 ≡ 5, 26 = 10 ≡ 1 (mod 9).
Periyot 6’dır. Üssü 6’ya bölelim:
2026 / 6 işleminden kalan 4’tür.
4. adımdaki kalan değerine bakarsak; 24 ≡ 7 olduğundan kalan 7 bulunur.
Öncelikle tabanı küçültelim: 11 ≡ 2 (mod 9). Soru 22026 (mod 9) ifadesine dönüştü.
2’nin kuvvetlerinin mod 9’daki periyodunu bulalım:
21 ≡ 2, 22 ≡ 4, 23 ≡ 8, 24 = 16 ≡ 7, 25 = 14 ≡ 5, 26 = 10 ≡ 1 (mod 9).
Periyot 6’dır. Üssü 6’ya bölelim:
2026 / 6 işleminden kalan 4’tür.
4. adımdaki kalan değerine bakarsak; 24 ≡ 7 olduğundan kalan 7 bulunur.
19. Bir fabrikadaki alarm sistemi 40 dakika çalışıp 10 dakika susmaktadır. İlk kez saat 08:00’de çalışmaya başlayan bu alarm, 5. kez saat kaçta susar?
Cevap: D
Alarmın 1 kez çalışıp susması toplam 40 + 10 = 50 dakikalık bir periyottur.
Ancak bizden 5. kez *susacağı* an (yani 5. çalışmanın bittiği an) isteniyor. Yani 4 tam periyot (çalışma+susma) geçecek, 5. periyodun ise sadece çalışma kısmı (40 dk) gerçekleşecektir.
Toplam süre: 4 · 50 + 40 = 200 + 40 = 240 dakika.
240 dakikayı saate çevirelim: 240 / 60 = 4 saat yapar.
Başlangıç saati 08:00 olduğuna göre: 08:00 + 4 saat = 12:00 bulunur.
Alarmın 1 kez çalışıp susması toplam 40 + 10 = 50 dakikalık bir periyottur.
Ancak bizden 5. kez *susacağı* an (yani 5. çalışmanın bittiği an) isteniyor. Yani 4 tam periyot (çalışma+susma) geçecek, 5. periyodun ise sadece çalışma kısmı (40 dk) gerçekleşecektir.
Toplam süre: 4 · 50 + 40 = 200 + 40 = 240 dakika.
240 dakikayı saate çevirelim: 240 / 60 = 4 saat yapar.
Başlangıç saati 08:00 olduğuna göre: 08:00 + 4 saat = 12:00 bulunur.
20. x ≡ 2 (mod 5) denkliğini sağlayan ve 10 < x < 40 aralığında bulunan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
Cevap: C
5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ve verilen aralıkta olan sayıları yazalım:
x değerleri: 12, 17, 22, 27, 32, 37 şeklindedir.
Bu değerleri saydığımızda toplam 6 farklı tam sayı değeri olduğu görülür.
5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren ve verilen aralıkta olan sayıları yazalım:
x değerleri: 12, 17, 22, 27, 32, 37 şeklindedir.
Bu değerleri saydığımızda toplam 6 farklı tam sayı değeri olduğu görülür.
Yorum gönder