20. Olasılık

1. Hilesiz bir madeni para art arda 3 kez atılıyor. En az ikisinin Tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/4
B) 3/8
C) 1/2
D) 5/8
E) 3/4

Cevap: C
Madeni para 3 kez atıldığında tüm durumların sayısı: 2³ = 8’dir.
İstenen durum “en az iki tura” gelmesidir. Bu durumlar 2 Tura 1 Yazı veya 3 Tura demektir:
2 Tura 1 Yazı durumları: (T, T, Y), (T, Y, T), (Y, T, T) olmak üzere 3 tanedir.
3 Tura durumu: (T, T, T) olmak üzere 1 tanedir.
İstenen durum sayısı: 3 + 1 = 4.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 4 / 8 = 1/2 bulunur.

2. Hilesiz iki zar aynı anda havaya atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 5/36
C) 1/9
D) 7/36
E) 1/12

Cevap: B
İki zar atıldığında tüm olası durumların sayısı: 6 · 6 = 36’dır.
Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu durumları yazalım:
(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) olmak üzere toplam 5 durum vardır.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 5 / 36 bulunur.

3. 4 kız ve 5 erkek öğrenci arasından rastgele seçilen 2 kişiden ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 2/9
C) 1/3
D) 4/9
E) 5/12

Cevap: A
Toplam öğrenci sayısı: 4 + 5 = 9 kişidir.
Tüm durumlar (9 kişiden 2 kişi seçilmesi): C(9, 2) = (9 · 8) / (2 · 1) = 36.
İstenen durum (4 kızdan 2 kız seçilmesi): C(4, 2) = (4 · 3) / (2 · 1) = 6.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 6 / 36 = 1/6 bulunur.

4. Bir torbada 4 kırmızı ve 6 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak şartıyla art arda rastgele çekilen iki bilyeden birincinin kırmızı, ikincinin beyaz olma olasılığı kaçtır?

A) 4/15
B) 6/25
C) 2/5
D) 7/15
E) 1/3

Cevap: A
Toplam bilye sayısı: 4 + 6 = 10’dur.
1. bilyenin kırmızı gelme olasılığı: 4 / 10’dur.
Bilye geri atılmadığı için torbada 3 kırmızı, 6 beyaz olmak üzere toplam 9 bilye kalır.
2. bilyenin beyaz gelme olasılığı: 6 / 9’dur.
Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı çarpılarak bulunur:
Olasılık = (4 / 10) · (6 / 9) = 24 / 90. Sadeleştirirsek (6’ya bölersek): 4 / 15 bulunur.

5. Bir torbada 3 mavi ve 5 yeşil mendil vardır. Torbadan rastgele çekilen iki mendilin aynı renk olma olasılığı kaçtır?

A) 11/28
B) 13/28
C) 15/28
D) 17/28
E) 19/28

Cevap: B
Toplam mendil sayısı: 3 + 5 = 8’dir.
Tüm durumlar (8 mendilden 2 adet seçilmesi): C(8, 2) = (8 · 7) / (2 · 1) = 28.
İstenen durum mendillerin aynı renk olmasıdır (İkisinin de mavi VEYA ikisinin de yeşil olması):
2 mavi seçilmesi: C(3, 2) = 3
2 yeşil seçilmesi: C(5, 2) = 10
İstenen toplam durum sayısı: 3 + 10 = 13.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 13 / 28 bulunur.

6. Üç basamaklı doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının tam kare bir sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 7/300
B) 22/900
C) 23/900
D) 1/45
E) 1/36

Cevap: B
Tüm durumlar (Üç basamaklı doğal sayıların sayısı): 999 – 100 + 1 = 900 tanedir.
İstenen durumlar (Üç basamaklı tam kare sayılar):
10² = 100 (En küçük), …, 31² = 961 (En büyük). (Çünkü 32² = 1024 olur ve 4 basamaklıdır).
10’dan 31’e kadar olan sayıların kareleri üç basamaklıdır. Bu sayıların adedi: 31 – 10 + 1 = 22 tanedir.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 22 / 900 bulunur.

7. İki hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarlardan en az birinin 5 geldiği bilindiğine göre, üst yüze gelen sayıların toplamının 9’dan büyük olma olasılığı kaçtır?

A) 2/11
B) 3/11
C) 4/11
D) 5/11
E) 6/11

Cevap: B
Bu bir koşullu olasılık sorusudur. Bilinen durum tüm durum alanımızı kısıtlar.
Tüm durumlar (En az birinin 5 geldiği durumlar):
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5) olmak üzere toplam 11 durumdur.
İstenen durumlar (Bu 11 durum içinden toplamı 9’dan büyük yani 10, 11, 12 olanlar):
(5,5) [Toplam 10], (5,6) [Toplam 11], (6,5) [Toplam 11] olmak üzere 3 durumdur.
Olasılık = İstenen Durum / Yeni Tüm Durum = 3 / 11 bulunur.

8. A ve B bağımsız iki olaydır. P(A) = 2/3 ve P(B) = 1/4 olduğuna göre, A veya B olayının gerçekleşme olasılığı P(A ∪ B) kaçtır?

A) 1/6
B) 5/12
C) 7/12
D) 3/4
E) 11/12

Cevap: D
“Veya” olasılık formülü: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) şeklindedir.
A ve B bağımsız olaylar olduğundan, kesişim (birlikte gerçekleşme) olasılıkları çarpımlarına eşittir:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = (2/3) · (1/4) = 2/12 = 1/6.
Formülde yerine yazalım (Paydaları 12’de eşitleyelim):
P(A ∪ B) = 2/3 + 1/4 – 1/6 = 8/12 + 3/12 – 2/12 = 9/12.
Sadeleştirirsek: 3/4 bulunur.

9. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden rastgele biri seçiliyor. Seçilen bu kümenin 3 elemanlı bir küme olma olasılığı kaçtır?

A) 5/16
B) 3/10
C) 1/4
D) 3/8
E) 5/32

Cevap: A
Tüm durumlar (5 elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı): 2⁵ = 32’dir.
İstenen durumlar (5 elemanlı kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı):
C(5, 3) = C(5, 2) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10’dur.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 10 / 32 = 5/16 bulunur.

10. Hedefi vurma olasılığı Ahmet’in 3/4, Mehmet’in ise 2/3’tür. İkisi de hedefe birer atış yaptığında hedefin vurulma olasılığı kaçtır?

A) 1/2
B) 7/12
C) 5/6
D) 11/12
E) 1

Cevap: D
“Hedefin vurulması” demek en az birinin hedefi vurması demektir. Bu tarz sorularda pratik yol; tüm durumdan (1), ikisinin de hedefi vuramama (karavan geçme) olasılığını çıkarmaktır:
Ahmet’in vuramama olasılığı: 1 – 3/4 = 1/4.
Mehmet’in vuramama olasılığı: 1 – 2/3 = 1/3.
İkisinin de vuramama olasılığı: (1/4) · (1/3) = 1/12.
Hedefin vurulma olasılığı = 1 – 1/12 = 11/12 bulunur.

11. Rakamlar kümesinden rastgele seçilen iki farklı rakamın toplamının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 4/9
B) 1/2
C) 5/9
D) 2/3
E) 13/18

Cevap: A
Rakamlar kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olup 10 elemanlıdır.
Bu kümede 5 adet tek {1,3,5,7,9} ve 5 adet çift {0,2,4,6,8} rakam vardır.
Tüm durumlar (10 rakamdan farklı iki adet seçilmesi): C(10, 2) = (10 · 9) / (2 · 1) = 45.
İstenen durum iki sayının toplamının çift olmasıdır. Bu durum ancak İkisinin de Tek VEYA İkisinin de Çift seçilmesiyle mümkündür:
İki tek seçilmesi: C(5, 2) = 10
İki çift seçilmesi: C(5, 2) = 10
İstenen toplam durum sayısı: 10 + 10 = 20.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 20 / 45 = 4/9 bulunur.

12. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak bir masa etrafına rastgele oturuyorlar. Anne ve babanın yan yana oturma olasılığı kaçtır?

A) 1/5
B) 2/5
C) 1/3
D) 1/2
E) 3/5

Cevap: B
Toplam kişi sayısı: 1 + 1 + 4 = 6 kişidir.
Tüm durumlar (6 kişinin yuvarlak masaya oturma sayısı): (6 – 1)! = 5! = 120.
İstenen durum (Anne ve babanın yan yana olması): Anne ve babayı paket yapalım (AB). Geriye 4 çocuk kalır. Toplam 1 paket + 4 çocuk = 5 eleman olur.
5 elemanın yuvarlak masaya dizilimi: (5 – 1)! = 4! = 24.
Paket içindeki anne ve baba kendi arasında 2! = 2 kadar yer değiştirir.
İstenen durum sayısı: 24 · 2 = 48.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 48 / 120. Her iki tarafı 24’e bölersek: 2/5 bulunur.

13. Bir çiftlikteki 12 koyundan 4’ü hastadır. Bu çiftlikten rastgele seçilen 3 koyundan en az birinin hasta olma olasılığı kaçtır?

A) 14/55
B) 28/55
C) 41/55
D) 12/13
E) 51/55

Cevap: C
“En az bir hasta” ifadesi için tüm durumlardan “hiç hasta olmama” (yani hepsinin sağlıklı seçilme) olasılığını çıkaralım.
Sağlıklı koyun sayısı: 12 – 4 = 8 tanedir.
Tüm durumlar (12 koyundan 3 koyun seçilmesi): C(12, 3) = (12 · 11 · 10) / (3 · 2 · 1) = 220.
İstenen durumun tersi (8 sağlıklı koyundan 3 sağlıklı seçilmesi): C(8, 3) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 56.
Hepsinin sağlıklı olma olasılığı = 56 / 220 = 14 / 55.
En az birinin hasta olma olasılığı = 1 – 14/55 = 41/55 bulunur.

14. Madeni bir para ile bir zar birlikte havaya atılıyor. Paranın Yazı VEYA zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/4
B) 1/2
C) 5/8
D) 3/4
E) 7/8

Cevap: D
Bu olaylar bağımsız olaylardır. “Veya” bağlacı formülünü uygulayalım:
P(Yazı ∪ Asal) = P(Yazı) + P(Asal) – P(Yazı ∩ Asal)
Paranın Yazı gelme olasılığı P(Yazı) = 1/2.
Zarın asal gelme olasılığı {2, 3, 5} sayıları olup P(Asal) = 3/6 = 1/2.
Birlikte gerçekleşme olasılıkları P(Yazı ∩ Asal) = (1/2) · (1/2) = 1/4.
Yerine yazalım: 1/2 + 1/2 – 1/4 = 1 – 1/4 = 3/4 bulunur.

15. “KARAKALEM” kelimesindeki harfler yer değiştirilerek yazılabilen 9 harfli kelimelerden rastgele biri seçiliyor. Seçilen kelimenin M harfi ile başlama olasılığı kaçtır?

A) 1/9
B) 2/9
C) 1/3
D) 4/9
E) 1/2

Cevap: A
Pratik Çözüm: Kelimenin herhangi bir harfle başlama olasılığı, o harfin toplam harf sayısına oranına eşittir. Tekrarlı permütasyon hesaplamalarına girmeden doğrudan oranlayabiliriz.
“KARAKALEM” kelimesinde toplam 9 harf vardır.
M harfi bu kelimede yalnızca 1 adet bulunmaktadır.
O halde seçilen kelimenin M harfi ile başlama olasılığı doğrudan 1/9 olarak bulunur.

16. Bir sınıftaki öğrencilerin %60’ı matematik dersinden, %40’ı ise fizik dersinden başarılı olmuştur. Sınıfın %20’si ise her iki dersten de başarılı olmuştur. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin matematik dersinden başarılı olduğu bilindiğine göre, fizik dersinden de başarılı bir öğrenci olma olasılığı kaçtır?

A) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 3/4

Cevap: B
Koşullu olasılık formülü: P(Fizik | Matematik) = P(Matematik ∩ Fizik) / P(Matematik).
Sınıf mevcuduna 100 kişi diyelim.
Matematikten başarılı olanlar (Yeni Tüm Durum) = 60 kişi.
Her iki dersten başarılı olanlar (İstenen Durum) = 20 kişi.
Olasılık = 20 / 60 = 1/3 bulunur.

17. Yan yana duran 6 sandalyeye 2 kişi rastgele oturuyor. Bu iki kişinin aralarında boş sandalye kalmayacak şekilde yan yana oturmuş olma olasılığı kaçtır?

A) 1/5
B) 2/5
C) 1/3
D) 1/2
E) 3/5

Cevap: A
Tüm durumlar (6 sandalyeye 2 kişinin oturma sayısı): P(6, 2) = 6 · 5 = 30.
İstenen durum (Yan yana oturmaları): 6 sandalyede yan yana olan komşu sandalye çifti sayısı 5 tanedir [(1-2), (2-3), (3-4), (4-5), (5-6)].
Bu 5 çiftten birine otururlar. İki kişi kendi aralarında da 2! = 2 farklı şekilde yer değiştirebileceğinden:
İstenen durum sayısı: 5 · 2 = 10.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 10 / 30 = 1/3’tür.
Seçenek Revizyonu: Hesaplamaya göre doğru sonuç 1/3’tür (C seçeneği).

18. Bir sınıftaki 10 kız öğrenciden 4’ü, 15 erkek öğrenciden ise 5’i gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü veya kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?

A) 3/5
B) 11/25
C) 14/25
D) 17/25
E) 19/25

Cevap: C
Toplam öğrenci sayısı: 10 + 15 = 25 kişidir (Tüm durumlar).
İstenen durum kümesini (Gözlüklü VEYA Kız) oluşturan kişileri tek tek sayalım:
Tüm kız öğrenciler: 10 kişi (Bunun içinde 4 gözlüklü kız zaten mevcuttur).
Geriye kalan gözlüklü erkek öğrenciler: 5 kişi.
İstenen toplam kişi sayısı: 10 + 5 = 15 kişi.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 15 / 25. Sadeleştirirsek (5’e bölersek): 3/5 bulunur. (A seçeneği)

19. İki basamaklı doğal sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 5 ile kalansız bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?

A) 1/5
B) 2/9
C) 1/4
D) 3/10
E) 4/15

Cevap: A
Tüm durumlar (İki basamaklı sayıların adedi): 99 – 10 + 1 = 90 tanedir.
İstenen durumlar (5’in katı olan iki basamaklı sayılar): 10, 15, 20, …, 95.
Terim sayısı = [ (95 – 10) / 5 ] + 1 = [ 85 / 5 ] + 1 = 17 + 1 = 18 tanedir.
Olasılık = İstenen Durum / Tüm Durum = 18 / 90 = 1/5 bulunur.

20. Madeni bir para art arda 4 kez atılıyor. En az bir kez Yazı gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/16
B) 3/8
C) 7/8
D) 15/16
E) 1

Cevap: D
“En az bir kez yazı gelmesi” durumunun tersi “hepsinin tura gelmesi” durumudur.
Tüm durumların sayısı: 2⁴ = 16’dır.
İstenmeyen tek durum (T, T, T, T) olup 1 tanedir.
Tüm olasılıktan (1), hepsinin tura gelme olasılığını çıkaralım:
Olasılık = 1 – (1 / 16) = 15 / 16 bulunur.

KPSS Matematik: Olasılık Testi

Yorum gönder Yanıtı iptal et

KPSS Matematik: Olasılık Testi

19. Permütasyon – Kombinasyon

21. İşlem

HİKAYELER

Yorum gönder Yanıtı iptal et