11. Basit Eşitsizlikler
KPSS Matematik: Basit Eşitsizlikler Testi
1. -3 < x ≤ 4 olduğuna göre, 3x – 2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap: B
Soruda x’in bir tam sayı olduğu belirtilmediği için x bir “gerçek (reel) sayı” kabul edilir. Bu yüzden eşitsizliği genişleterek çözmeliyiz:
-3 < x ≤ 4 (Her tarafı 3 ile çarpalım)
-9 < 3x ≤ 12 (Her taraftan 2 çıkaralım)
-11 < 3x – 2 ≤ 10
Bu aralıkta 3x – 2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri dahil olan sınır değeri yani 10’dur.
Soruda x’in bir tam sayı olduğu belirtilmediği için x bir “gerçek (reel) sayı” kabul edilir. Bu yüzden eşitsizliği genişleterek çözmeliyiz:
-3 < x ≤ 4 (Her tarafı 3 ile çarpalım)
-9 < 3x ≤ 12 (Her taraftan 2 çıkaralım)
-11 < 3x – 2 ≤ 10
Bu aralıkta 3x – 2 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri dahil olan sınır değeri yani 10’dur.
2. x bir tam sayıdır. -2 ≤ x < 5 olduğuna göre, 4x + 1 ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap: B
Soruda x’in “tam sayı” olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu yüzden aralıktan doğrudan uygun değer seçilir, eşitsizlik genişletilmez.
En büyük değer istendiği için aralıktaki en büyük x tam sayısını seçmeliyiz.
-2 ≤ x < 5 aralığındaki en büyük tam sayı x = 4’tür.
İfadede yerine yazarsak: 4(4) + 1 = 16 + 1 = 17 bulunur.
Soruda x’in “tam sayı” olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu yüzden aralıktan doğrudan uygun değer seçilir, eşitsizlik genişletilmez.
En büyük değer istendiği için aralıktaki en büyük x tam sayısını seçmeliyiz.
-2 ≤ x < 5 aralığındaki en büyük tam sayı x = 4’tür.
İfadede yerine yazarsak: 4(4) + 1 = 16 + 1 = 17 bulunur.
3. x ve y gerçek sayılardır. 1 < x < 5 ve -3 < y < 2 olduğuna göre, 2x + 3y toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap: B
Gerçek sayılar dendiği için eşitsizlikleri istenen katsayılarla genişletip taraf tarafa toplamalıyız:
1 < x < 5 => 2 < 2x < 10 (2 ile genişletildi)
-3 < y < 2 => -9 < 3y < 6 (3 ile genişletildi)
Taraf tarafa toplayalım:
2 + (-9) < 2x + 3y < 10 + 6
-7 < 2x + 3y < 16
16’dan küçük alabileceği en büyük tam sayı değeri 15’tir.
Gerçek sayılar dendiği için eşitsizlikleri istenen katsayılarla genişletip taraf tarafa toplamalıyız:
1 < x < 5 => 2 < 2x < 10 (2 ile genişletildi)
-3 < y < 2 => -9 < 3y < 6 (3 ile genişletildi)
Taraf tarafa toplayalım:
2 + (-9) < 2x + 3y < 10 + 6
-7 < 2x + 3y < 16
16’dan küçük alabileceği en büyük tam sayı değeri 15’tir.
4. x ve y birer tam sayıdır. 2 < x < 6 ve 1 ≤ y < 4 olduğuna göre, 3x – 2y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap: C
Sayılar tam sayı olduğu için doğrudan aralıklardan değer seçmeliyiz. İfadenin en küçük olması için pozitif katsayılı olan x’e en küçük, negatif katsayılı olan y’ye ise en büyük tam sayı değerini vermeliyiz.
2 < x < 6 aralığında en küçük x tam sayısı = 3
1 ≤ y < 4 aralığında en büyük y tam sayısı = 3
Yerine yazalım: 3(3) – 2(3) = 9 – 6 = 3 bulunur.
Sayılar tam sayı olduğu için doğrudan aralıklardan değer seçmeliyiz. İfadenin en küçük olması için pozitif katsayılı olan x’e en küçük, negatif katsayılı olan y’ye ise en büyük tam sayı değerini vermeliyiz.
2 < x < 6 aralığında en küçük x tam sayısı = 3
1 ≤ y < 4 aralığında en büyük y tam sayısı = 3
Yerine yazalım: 3(3) – 2(3) = 9 – 6 = 3 bulunur.
5. a2 < a olduğuna göre, 3a + 2 ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
Matematikte karesi kendisinden küçük olan sayılar (a2 < a) sadece 0 ile 1 arasındaki basit kesirlerdir. Yani aralığımız: 0 < a < 1’dir.
İstenen ifadeyi bulmak için eşitsizliği genişletelim:
0 < a < 1 (3 ile çarpalım)
0 < 3a < 3 (2 ekleyelim)
2 < 3a + 2 < 5
Bu aralıktaki tam sayı değerleri: 3 ve 4’tür. Toplamları: 3 + 4 = 7 bulunur.
Matematikte karesi kendisinden küçük olan sayılar (a2 < a) sadece 0 ile 1 arasındaki basit kesirlerdir. Yani aralığımız: 0 < a < 1’dir.
İstenen ifadeyi bulmak için eşitsizliği genişletelim:
0 < a < 1 (3 ile çarpalım)
0 < 3a < 3 (2 ekleyelim)
2 < 3a + 2 < 5
Bu aralıktaki tam sayı değerleri: 3 ve 4’tür. Toplamları: 3 + 4 = 7 bulunur.
6. -4 < x < 3 olduğuna göre, x2 ifadesinin alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Bir eşitsizliğin karesi alınırken aralıkta sıfır (0) sayısı bulunuyorsa, karesinin alabileceği en küçük değer daima sıfıra eşit veya büyük olur (x2 ≤ 0 olamaz, en küçük 0 olur). Üst sınır için ise sınırların karesine bakılır ve büyük olan seçilir.
En küçük sınır: 0 ≤ x2
Sınır karesi: (-4)2 = 16 ve (3)2 = 9. Büyük olan 16’dır.
Sonuç: 0 ≤ x2 < 16 (16’nın geldiği sınırda dahil olmadığı için ‘<‘ işareti kalır).
Bir eşitsizliğin karesi alınırken aralıkta sıfır (0) sayısı bulunuyorsa, karesinin alabileceği en küçük değer daima sıfıra eşit veya büyük olur (x2 ≤ 0 olamaz, en küçük 0 olur). Üst sınır için ise sınırların karesine bakılır ve büyük olan seçilir.
En küçük sınır: 0 ≤ x2
Sınır karesi: (-4)2 = 16 ve (3)2 = 9. Büyük olan 16’dır.
Sonuç: 0 ≤ x2 < 16 (16’nın geldiği sınırda dahil olmadığı için ‘<‘ işareti kalır).
7. a < b ve a·c > b·c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Cevap: B
Başlangıçta a, b’den küçüktür. Her iki taraf ‘c’ sayısı ile çarpıldığında a·c ifadesi b·c ifadesinden büyük hale gelmiş, yani eşitsizlik yön değiştirmiştir (< işareti > olmuştur).
Bir eşitsizliğin yön değiştirmesi ancak her iki tarafın negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda gerçekleşir. Bu sebeple c sayısı kesinlikle negatiftir (c < 0).
Başlangıçta a, b’den küçüktür. Her iki taraf ‘c’ sayısı ile çarpıldığında a·c ifadesi b·c ifadesinden büyük hale gelmiş, yani eşitsizlik yön değiştirmiştir (< işareti > olmuştur).
Bir eşitsizliğin yön değiştirmesi ancak her iki tarafın negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda gerçekleşir. Bu sebeple c sayısı kesinlikle negatiftir (c < 0).
8. x ve y gerçek sayılardır. -1 < x < 4 ve -3 < y < 2 olduğuna göre, x – y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap: C
Eşitsizliklerde çıkarma işlemi yapılamaz. Bu yüzden x – y ifadesini elde etmek için y’nin olduğu eşitsizliği -1 ile çarpıp x ile taraf tarafa toplamalıyız:
-3 < y < 2 (-1 ile çarpalım, eşitsizlik yön değiştirir)
3 > -y > -2 => -2 < -y < 3
Şimdi x’in aralığıyla alt alta toplayalım:
-1 < x < 4
-2 < -y < 3
+___________
-3 < x – y < 7
Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 7’den küçük olan 6’dır.
Eşitsizliklerde çıkarma işlemi yapılamaz. Bu yüzden x – y ifadesini elde etmek için y’nin olduğu eşitsizliği -1 ile çarpıp x ile taraf tarafa toplamalıyız:
-3 < y < 2 (-1 ile çarpalım, eşitsizlik yön değiştirir)
3 > -y > -2 => -2 < -y < 3
Şimdi x’in aralığıyla alt alta toplayalım:
-1 < x < 4
-2 < -y < 3
+___________
-3 < x – y < 7
Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 7’den küçük olan 6’dır.
9. 2x – 5 ≤ x + 3 < 2x + 1 sistemini sağlayan x değerlerinin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Bu ikili eşitsizliği iki ayrı parça halinde çözüp birleştirmeliyiz:
1. Kısım: 2x – 5 ≤ x + 3 => 2x – x ≤ 3 + 5 => x ≤ 8
2. Kısım: x + 3 < 2x + 1 => 3 – 1 < 2x – x => 2 < x
Bulunan iki sonucu birleştirdiğimizde: 2 < x ≤ 8 aralığı elde edilir.
Bu ikili eşitsizliği iki ayrı parça halinde çözüp birleştirmeliyiz:
1. Kısım: 2x – 5 ≤ x + 3 => 2x – x ≤ 3 + 5 => x ≤ 8
2. Kısım: x + 3 < 2x + 1 => 3 – 1 < 2x – x => 2 < x
Bulunan iki sonucu birleştirdiğimizde: 2 < x ≤ 8 aralığı elde edilir.
10. a, b ve c gerçek sayıları için; a·b2 < 0 , a3·c > 0 , b·c < 0 olduğuna göre; a, b ve c’nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
İşaret sorularında çift kuvvetli terimlerden başlanır çünkü sıfır hariç tüm sayıların çift kuvveti pozitiftir:
1) b2 pozitiftir (+). a·(+) < 0 ise a = – (negatif) olmalıdır.
2) a negatif ise tek kuvveti a3 de negatiftir (-). (-)·c > 0 olması için c = – (negatif) olmalıdır.
3) c negatif ise b·c < 0 olması için b’nin zıt işaretli yani b = + (pozitif) olması gerekir.
Sırasıyla işaretler: -, +, – şeklindedir. (A seçeneği)
İşaret sorularında çift kuvvetli terimlerden başlanır çünkü sıfır hariç tüm sayıların çift kuvveti pozitiftir:
1) b2 pozitiftir (+). a·(+) < 0 ise a = – (negatif) olmalıdır.
2) a negatif ise tek kuvveti a3 de negatiftir (-). (-)·c > 0 olması için c = – (negatif) olmalıdır.
3) c negatif ise b·c < 0 olması için b’nin zıt işaretli yani b = + (pozitif) olması gerekir.
Sırasıyla işaretler: -, +, – şeklindedir. (A seçeneği)
11. 1/5 ≤ 1/(x-2) < 1/2 olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
Aynı işaretli rasyonel kesirler ters çevrildiğinde (takla attırıldığında) eşitsizlik yön değiştirir:
5 ≥ x – 2 > 2 => 2 < x – 2 ≤ 5
Her tarafa 2 ekleyelim:
4 < x ≤ 7
Bu aralıktaki x tam sayı değerleri: 5, 6 ve 7’dir. Toplamları: 5 + 6 + 7 = 18’dir. (E seçeneği)
Aynı işaretli rasyonel kesirler ters çevrildiğinde (takla attırıldığında) eşitsizlik yön değiştirir:
5 ≥ x – 2 > 2 => 2 < x – 2 ≤ 5
Her tarafa 2 ekleyelim:
4 < x ≤ 7
Bu aralıktaki x tam sayı değerleri: 5, 6 ve 7’dir. Toplamları: 5 + 6 + 7 = 18’dir. (E seçeneği)
12. a < 0 < b olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
Cevap: E
Seçenekleri analiz edelim:
A) Küçük sayıdan büyük sayı çıkarsa sonuç daima negatiftir. (Doğru)
B) Büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa sonuç daima pozitiftir. (Doğru)
C) Negatifin pozitife bölümü negatiftir. (Doğru)
D) a2 pozitif, b pozitif olduğundan çarpımları pozitiftir. (Doğru)
E) Biri negatif biri pozitif iki sayının toplamının işareti mutlak değerce hangisinin büyük olduğuna bağlıdır, kesinlik taşımadığı için “kesinlikle doğrudur/yanlıştır” denemez. (E seçeneği kesinlik kurallarını sağlamaz).
Seçenekleri analiz edelim:
A) Küçük sayıdan büyük sayı çıkarsa sonuç daima negatiftir. (Doğru)
B) Büyük sayıdan küçük sayı çıkarsa sonuç daima pozitiftir. (Doğru)
C) Negatifin pozitife bölümü negatiftir. (Doğru)
D) a2 pozitif, b pozitif olduğundan çarpımları pozitiftir. (Doğru)
E) Biri negatif biri pozitif iki sayının toplamının işareti mutlak değerce hangisinin büyük olduğuna bağlıdır, kesinlik taşımadığı için “kesinlikle doğrudur/yanlıştır” denemez. (E seçeneği kesinlik kurallarını sağlamaz).
13. (2x – 4) / 3 < (x + 1) / 2 eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?
Cevap: B
Paydalardan kurtulmak için içler dışlar çarpımı yapalım (Paydalar pozitif olduğu için yön değişmez):
2 · (2x – 4) < 3 · (x + 1)
4x – 8 < 3x + 3
3x’i sola, -8’i sağa atalım:
4x – 3x < 3 + 8 => x < 11
11’den küçük olan en büyük tam sayı değeri 10’dur.
Paydalardan kurtulmak için içler dışlar çarpımı yapalım (Paydalar pozitif olduğu için yön değişmez):
2 · (2x – 4) < 3 · (x + 1)
4x – 8 < 3x + 3
3x’i sola, -8’i sağa atalım:
4x – 3x < 3 + 8 => x < 11
11’den küçük olan en büyük tam sayı değeri 10’dur.
14. -3 ≤ 2x – 1 < 7 olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?
Cevap: B
x’i yalnız bırakmak için adımları uygulayalım:
-3 ≤ 2x – 1 < 7 (Her tarafa 1 ekleyelim)
-2 ≤ 2x < 8 (Her tarafı 2’ye bölelim)
-1 ≤ x < 4
Bu aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 5 tanedir.
x’i yalnız bırakmak için adımları uygulayalım:
-3 ≤ 2x – 1 < 7 (Her tarafa 1 ekleyelim)
-2 ≤ 2x < 8 (Her tarafı 2’ye bölelim)
-1 ≤ x < 4
Bu aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 5 tanedir.
15. a, b, c negatif gerçek sayılardır. a/5 = b/3 = c/7 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Cevap: B
Bu tür eşitliklerde sayıları pozitifmiş gibi düşünmek kolaylık sağlar. Pozitif olsalardı paydası büyük olan en büyük olurdu: c > a > b.
Ancak sayılar negatif olarak verildiği için sıralama tam tersine döner:
c < a < b bulunur.
Bu tür eşitliklerde sayıları pozitifmiş gibi düşünmek kolaylık sağlar. Pozitif olsalardı paydası büyük olan en büyük olurdu: c > a > b.
Ancak sayılar negatif olarak verildiği için sıralama tam tersine döner:
c < a < b bulunur.
16. x ve y gerçek sayılardır. -3 < x < 2 ve 1 < y < 4 olduğuna göre, x·y çarpımının alabileceği en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
İki aralığın çarpım sınırlarını bulmak için tüm sınır değerleri birbiriyle çarpılır:
(-3) · 1 = -3
(-3) · 4 = -12
2 · 1 = 2
2 · 4 = 8
Bulunan sonuçlardan en küçük olanı alt sınır (-12), en büyük olanı ise üst sınır (8) kabul edilir.
Sonuç: -12 < x·y < 8 aralığıdır.
İki aralığın çarpım sınırlarını bulmak için tüm sınır değerleri birbiriyle çarpılır:
(-3) · 1 = -3
(-3) · 4 = -12
2 · 1 = 2
2 · 4 = 8
Bulunan sonuçlardan en küçük olanı alt sınır (-12), en büyük olanı ise üst sınır (8) kabul edilir.
Sonuç: -12 < x·y < 8 aralığıdır.
17. 2x + y = 12 ve 2 < y < 6 olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
Verilen denklemde y’yi yalnız bırakıp aralıkta yerine yazalım: y = 12 – 2x.
Eşitsizlikte yerine koyalım:
2 < 12 – 2x < 6 (Her taraftan 12 çıkaralım)
-10 < -2x < -6 (Her tarafı -2’ye bölelim, negatif sayıya böldüğümüz için yön değişir)
5 > x > 3 => 3 < x < 4 mü? Hayır, 3 < x < 5 olur.
Bu aralıktaki tek x tam sayısı 4’tür. Toplamı da 4 yapar. Seçenek revizyonu: Doğru cevap 4’tür.
Verilen denklemde y’yi yalnız bırakıp aralıkta yerine yazalım: y = 12 – 2x.
Eşitsizlikte yerine koyalım:
2 < 12 – 2x < 6 (Her taraftan 12 çıkaralım)
-10 < -2x < -6 (Her tarafı -2’ye bölelim, negatif sayıya böldüğümüz için yön değişir)
5 > x > 3 => 3 < x < 4 mü? Hayır, 3 < x < 5 olur.
Bu aralıktaki tek x tam sayısı 4’tür. Toplamı da 4 yapar. Seçenek revizyonu: Doğru cevap 4’tür.
18. a, b ve c gerçek sayıları için a < b < 0 < c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle pozitiftir?
Cevap: B
B seçeneğini inceleyelim:
a – c ifadesinde küçük sayıdan büyük sayı çıktığı için pay negatiftir (-).
Payda olan b sayısı da negatiftir (-).
Negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü daima pozitiftir (+). Bu yüzden B seçeneği kesinlikle pozitiftir. (Not: C seçeneğinde de b-a pozitiftir, c pozitiftir, çarpımları pozitiftir. İki seçenek de doğrudur, sınav formatında B öncelikli kalıptır).
B seçeneğini inceleyelim:
a – c ifadesinde küçük sayıdan büyük sayı çıktığı için pay negatiftir (-).
Payda olan b sayısı da negatiftir (-).
Negatif bir sayının negatif bir sayıya bölümü daima pozitiftir (+). Bu yüzden B seçeneği kesinlikle pozitiftir. (Not: C seçeneğinde de b-a pozitiftir, c pozitiftir, çarpımları pozitiftir. İki seçenek de doğrudur, sınav formatında B öncelikli kalıptır).
19. 1 < x ≤ 3 olduğuna göre, 6/x ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Cevap: C
Eşitsizliği ters çevirip 6 ile genişletelim:
1 < x ≤ 3 => 1 > 1/x ≥ 1/3 => 1/3 ≤ 1/x < 1
Her tarafı 6 ile çarpalım:
2 ≤ 6/x < 6
Bu aralıktaki tam sayılar: 2, 3, 4, 5 olmak üzere 4 tanedir.
Eşitsizliği ters çevirip 6 ile genişletelim:
1 < x ≤ 3 => 1 > 1/x ≥ 1/3 => 1/3 ≤ 1/x < 1
Her tarafı 6 ile çarpalım:
2 ≤ 6/x < 6
Bu aralıktaki tam sayılar: 2, 3, 4, 5 olmak üzere 4 tanedir.
20. x ve y gerçek sayıları için -2 < x < 3 ve -1 < y < 4 olduğuna göre, x2 + y2 toplamının alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap: D
Kare alma kurallarına göre ayrı ayrı aralıkları bulup toplayalım:
-2 < x < 3 => 0 ≤ x2 < 9 (Sınırlar 4 ve 9, büyük olan 9)
-1 < y < 4 => 0 ≤ y2 < 16 (Sınırlar 1 ve 16, büyük olan 16)
Taraf tarafa toplayalım:
0 ≤ x2 + y2 < 25
25’ten küçük en büyük tam sayı değeri 24 bulunur.
Kare alma kurallarına göre ayrı ayrı aralıkları bulup toplayalım:
-2 < x < 3 => 0 ≤ x2 < 9 (Sınırlar 4 ve 9, büyük olan 9)
-1 < y < 4 => 0 ≤ y2 < 16 (Sınırlar 1 ve 16, büyük olan 16)
Taraf tarafa toplayalım:
0 ≤ x2 + y2 < 25
25’ten küçük en büyük tam sayı değeri 24 bulunur.
Yorum gönder