12. Mutlak Değer
KPSS Matematik: Mutlak Değer Testi
1. x < 0 < y olduğuna göre, |x| + |y – x| – |-y| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Mutlak değerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirleyelim:
1) x < 0 olduğundan |x| dışarıya işaret değiştirerek -x olarak çıkar.
2) y > 0 ve x < 0 olduğundan (y – x) ifadesi pozitif bir değerdir. |y – x| dışarıya aynen y – x olarak çıkar.
3) y > 0 olduğundan -y negatiftir. |-y| ifadesi dışarıya y olarak çıkar (Önündeki eksi işlem eksisidir).
İfadeyi toparlayalım: (-x) + (y – x) – (y) = -x + y – x – y = -2x bulunur.
Mutlak değerin içindeki ifadelerin işaretlerini belirleyelim:
1) x < 0 olduğundan |x| dışarıya işaret değiştirerek -x olarak çıkar.
2) y > 0 ve x < 0 olduğundan (y – x) ifadesi pozitif bir değerdir. |y – x| dışarıya aynen y – x olarak çıkar.
3) y > 0 olduğundan -y negatiftir. |-y| ifadesi dışarıya y olarak çıkar (Önündeki eksi işlem eksisidir).
İfadeyi toparlayalım: (-x) + (y – x) – (y) = -x + y – x – y = -2x bulunur.
2. |2x – 4| = 6 denklemini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
|A| = b denklemlerinde A = b veya A = -b durumları incelenir:
1. Durum: 2x – 4 = 6 => 2x = 10 => x = 5
2. Durum: 2x – 4 = -6 => 2x = -2 => x = -1
Değerler toplamı: 5 + (-1) = 4 bulunur.
Pratik Yol: |ax + b| = c tarzı denklemlerde kökler toplamı, mutlak değerin içini sıfır yapan değerin her zaman 2 katıdır. 2x – 4 = 0 => x = 2. Cevap: 2 * 2 = 4.
|A| = b denklemlerinde A = b veya A = -b durumları incelenir:
1. Durum: 2x – 4 = 6 => 2x = 10 => x = 5
2. Durum: 2x – 4 = -6 => 2x = -2 => x = -1
Değerler toplamı: 5 + (-1) = 4 bulunur.
Pratik Yol: |ax + b| = c tarzı denklemlerde kökler toplamı, mutlak değerin içini sıfır yapan değerin her zaman 2 katıdır. 2x – 4 = 0 => x = 2. Cevap: 2 * 2 = 4.
3. |x – 3| < 5 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
Cevap: C
|A| < b şeklindeki eşitsizliklerde ifade -b < A < b olarak açılır:
-5 < x – 3 < 5
Her tarafa 3 ekleyelim:
-2 < x < 8
Bu aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 olmak üzere 9 tanedir.
|A| < b şeklindeki eşitsizliklerde ifade -b < A < b olarak açılır:
-5 < x – 3 < 5
Her tarafa 3 ekleyelim:
-2 < x < 8
Bu aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 olmak üzere 9 tanedir.
4. |2x + 1| ≥ 7 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif x tam sayısı kaçtır?
Cevap: C
|A| ≥ b şeklindeki büyük-eşitli durumlarda iki ayrı kol incelenir:
1. Kol: 2x + 1 ≥ 7 => 2x ≥ 6 => x ≥ 3
2. Kol: 2x + 1 ≤ -7 => 2x ≤ -8 => x ≤ -4
Soruda “en küçük pozitif tam sayı” sorulduğu için x ≥ 3 koluna bakarız. Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı 3’tür.
|A| ≥ b şeklindeki büyük-eşitli durumlarda iki ayrı kol incelenir:
1. Kol: 2x + 1 ≥ 7 => 2x ≥ 6 => x ≥ 3
2. Kol: 2x + 1 ≤ -7 => 2x ≤ -8 => x ≤ -4
Soruda “en küçük pozitif tam sayı” sorulduğu için x ≥ 3 koluna bakarız. Bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayı 3’tür.
5. A = |x – 3| + |x + 5| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap: D
Mutlak değerli iki ifadenin toplamının en küçük değerini bulmak için, mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar tek tek ifadede yerine yazılır ve en küçük sonuç seçilir:
1. Kritik nokta: x – 3 = 0 => x = 3 için;
A = |3 – 3| + |3 + 5| = 0 + 8 = 8
2. Kritik nokta: x + 5 = 0 => x = -5 için;
A = |-5 – 3| + |-5 + 5| = |-8| + 0 = 8
İki durumda da en küçük değer 8 olarak bulunur.
Mutlak değerli iki ifadenin toplamının en küçük değerini bulmak için, mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar tek tek ifadede yerine yazılır ve en küçük sonuç seçilir:
1. Kritik nokta: x – 3 = 0 => x = 3 için;
A = |3 – 3| + |3 + 5| = 0 + 8 = 8
2. Kritik nokta: x + 5 = 0 => x = -5 için;
A = |-5 – 3| + |-5 + 5| = |-8| + 0 = 8
İki durumda da en küçük değer 8 olarak bulunur.
6. |x – 2| + |2x – 4| = 9 denklemini sağlayan x gerçek sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevap: B
İkinci mutlak değerli ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim:
|2x – 4| = |2(x – 2)| = 2|x – 2|
Denklemde yerine yazalım:
|x – 2| + 2|x – 2| = 9
3|x – 2| = 9 => |x – 2| = 3 olur.
Buradan iki durum gelir:
1) x – 2 = 3 => x = 5
2) x – 2 = -3 => x = -1
Değerlerin çarpımı: 5 · (-1) = -5 bulunur.
İkinci mutlak değerli ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim:
|2x – 4| = |2(x – 2)| = 2|x – 2|
Denklemde yerine yazalım:
|x – 2| + 2|x – 2| = 9
3|x – 2| = 9 => |x – 2| = 3 olur.
Buradan iki durum gelir:
1) x – 2 = 3 => x = 5
2) x – 2 = -3 => x = -1
Değerlerin çarpımı: 5 · (-1) = -5 bulunur.
7. a ve b gerçek sayılardır. |a – 3| + |2b + 4| = 0 olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?
Cevap: B
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz (en az 0 olur). İki mutlak değerin toplamı 0’a eşitse, bu ancak ve ancak her iki mutlak değerin içinin de aynı anda 0 olmasıyla mümkündür:
1) a – 3 = 0 => a = 3
2) 2b + 4 = 0 => 2b = -4 => b = -2
Çarpımları: a · b = 3 · (-2) = -6 bulunur.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif olamaz (en az 0 olur). İki mutlak değerin toplamı 0’a eşitse, bu ancak ve ancak her iki mutlak değerin içinin de aynı anda 0 olmasıyla mümkündür:
1) a – 3 = 0 => a = 3
2) 2b + 4 = 0 => 2b = -4 => b = -2
Çarpımları: a · b = 3 · (-2) = -6 bulunur.
8. ||x – 1| – 3| = 2 denklemini sağlayan kaç farklı x gerçek sayısı vardır?
Cevap: D
Dıştaki mutlak değeri kaldırarak iki duruma ayıralım:
1. Durum: |x – 1| – 3 = 2 => |x – 1| = 5
Buradan x – 1 = 5 (x=6) ve x – 1 = -5 (x=-4) olmak üzere 2 kök gelir.
2. Durum: |x – 1| – 3 = -2 => |x – 1| = 1
Buradan x – 1 = 1 (x=2) ve x – 1 = -1 (x=0) olmak üzere 2 kök de buradan gelir.
Toplamda denklemi sağlayan 4 farklı x değeri vardır.
Dıştaki mutlak değeri kaldırarak iki duruma ayıralım:
1. Durum: |x – 1| – 3 = 2 => |x – 1| = 5
Buradan x – 1 = 5 (x=6) ve x – 1 = -5 (x=-4) olmak üzere 2 kök gelir.
2. Durum: |x – 1| – 3 = -2 => |x – 1| = 1
Buradan x – 1 = 1 (x=2) ve x – 1 = -1 (x=0) olmak üzere 2 kök de buradan gelir.
Toplamda denklemi sağlayan 4 farklı x değeri vardır.
9. |3x| + |-2x| = 15 olduğuna göre, x’in alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
|a · b| = |a| · |b| özelliğini kullanarak katsayıları mutlak değer dışına çıkaralım:
|3x| = 3|x|
|-2x| = |-2| · |x| = 2|x|
Denklemde toplarsak: 3|x| + 2|x| = 15 => 5|x| = 15 => |x| = 3 olur.
|x| = 3 ise x sayısı 3 veya -3 olabilir. Çözüm kümesi {-3, 3}’tür.
|a · b| = |a| · |b| özelliğini kullanarak katsayıları mutlak değer dışına çıkaralım:
|3x| = 3|x|
|-2x| = |-2| · |x| = 2|x|
Denklemde toplarsak: 3|x| + 2|x| = 15 => 5|x| = 15 => |x| = 3 olur.
|x| = 3 ise x sayısı 3 veya -3 olabilir. Çözüm kümesi {-3, 3}’tür.
10. 1 < x < 3 olduğuna göre, |x – 1| + |x – 4| ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Verilen 1 < x < 3 aralığına göre mutlak değerlerin içini inceleyelim:
1) x sayısı 1’den büyük olduğu için (x – 1) pozitif bir ifadedir, dışarı aynen çıkar: x – 1
2) x sayısı 3’ten küçük olduğu için (x – 4) kesinlikle negatif bir ifadedir, dışarı eksi ile çarpılarak çıkar: -x + 4
Toplayalım: (x – 1) + (-x + 4) = x – 1 – x + 4 = 3 bulunur.
Verilen 1 < x < 3 aralığına göre mutlak değerlerin içini inceleyelim:
1) x sayısı 1’den büyük olduğu için (x – 1) pozitif bir ifadedir, dışarı aynen çıkar: x – 1
2) x sayısı 3’ten küçük olduğu için (x – 4) kesinlikle negatif bir ifadedir, dışarı eksi ile çarpılarak çıkar: -x + 4
Toplayalım: (x – 1) + (-x + 4) = x – 1 – x + 4 = 3 bulunur.
11. 12 / (|x – 2| + 3) kesrinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap: C
Bir kesrin değerinin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
Paydadaki ifadenin en küçük değerini bulmak için mutlak değerli terimi minimum yapmalıyız. Bir mutlak değerin alabileceği en küçük değer 0’dır.
|x – 2| = 0 (yani x=2 için) payda minimum değerini alır.
Minimum Payda = 0 + 3 = 3 olur.
En Büyük Kesir Değeri = 12 / 3 = 4 bulunur.
Bir kesrin değerinin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
Paydadaki ifadenin en küçük değerini bulmak için mutlak değerli terimi minimum yapmalıyız. Bir mutlak değerin alabileceği en küçük değer 0’dır.
|x – 2| = 0 (yani x=2 için) payda minimum değerini alır.
Minimum Payda = 0 + 3 = 3 olur.
En Büyük Kesir Değeri = 12 / 3 = 4 bulunur.
12. |x|2 – 3|x| – 4 = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
|x| ifadesine t diyelim (t ≥ 0 olmalıdır). Denklem ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüşür:
t2 – 3t – 4 = 0
Çarpanlarına ayıralım: (t – 4)(t + 1) = 0
Buradan t = 4 veya t = -1 bulunur.
Mutlak değer negatif olamayacağından t = -1 (yani |x| = -1) durumu imkansızdır.
O halde t = 4 => |x| = 4 olur. Buradan x = 4 ve x = -4 kökleri elde edilir.
Kökler toplamı: 4 + (-4) = 0’dır.
|x| ifadesine t diyelim (t ≥ 0 olmalıdır). Denklem ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüşür:
t2 – 3t – 4 = 0
Çarpanlarına ayıralım: (t – 4)(t + 1) = 0
Buradan t = 4 veya t = -1 bulunur.
Mutlak değer negatif olamayacağından t = -1 (yani |x| = -1) durumu imkansızdır.
O halde t = 4 => |x| = 4 olur. Buradan x = 4 ve x = -4 kökleri elde edilir.
Kökler toplamı: 4 + (-4) = 0’dır.
13. |x| ≤ 3 ve 2x – y = 5 olduğuna göre, y’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Cevap: A
İlk ifadedeki mutlak değeri açalım: -3 ≤ x ≤ 3
Verilen denklemde y’yi x cinsinden yalnız bırakalım: y = 2x – 5
Eşitlikteki x aralığını 2x – 5 haline getirene kadar genişletelim:
-3 ≤ x ≤ 3 (2 ile çarpalım)
-6 ≤ 2x ≤ 6 (5 çıkaralım)
-11 ≤ 2x – 5 ≤ 1
Yani y sayısı: -11 ≤ y ≤ 1 aralığındadır. Alabileceği en büyük tam sayı değeri dahil olan sınır yani 1’dir.
İlk ifadedeki mutlak değeri açalım: -3 ≤ x ≤ 3
Verilen denklemde y’yi x cinsinden yalnız bırakalım: y = 2x – 5
Eşitlikteki x aralığını 2x – 5 haline getirene kadar genişletelim:
-3 ≤ x ≤ 3 (2 ile çarpalım)
-6 ≤ 2x ≤ 6 (5 çıkaralım)
-11 ≤ 2x – 5 ≤ 1
Yani y sayısı: -11 ≤ y ≤ 1 aralığındadır. Alabileceği en büyük tam sayı değeri dahil olan sınır yani 1’dir.
14. √(x – 2)2 = 2 – x olduğuna göre, x için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
Cevap: D
Çift dereceli kök dışına sayılar mutlak değer içinde çıkar: √(x – 2)2 = |x – 2|
Soruda |x – 2| = 2 – x olarak verilmiş. Dikkat edilirse mutlak değerin içi dışarıya eksi ile çarpılarak (ters çevrilerek) çıkmıştır.
Bir mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya eksi ile çarpılarak çıkıyorsa, o ifade sıfırdan küçük veya sıfıra eşittir:
x – 2 ≤ 0 => x ≤ 2 olmalıdır.
Çift dereceli kök dışına sayılar mutlak değer içinde çıkar: √(x – 2)2 = |x – 2|
Soruda |x – 2| = 2 – x olarak verilmiş. Dikkat edilirse mutlak değerin içi dışarıya eksi ile çarpılarak (ters çevrilerek) çıkmıştır.
Bir mutlak değer içerisindeki ifade dışarıya eksi ile çarpılarak çıkıyorsa, o ifade sıfırdan küçük veya sıfıra eşittir:
x – 2 ≤ 0 => x ≤ 2 olmalıdır.
15. |x – 1| < |x + 3| eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Her iki tarafı da mutlak değerli olan eşitsizlikleri çözmenin en güvenli yolu iki tarafın da karesini alarak mutlak değerden kurtulmaktır (Karesi alınan ifadenin mutlak değerine gerek kalmaz):
(x – 1)2 < (x + 3)2
x2 – 2x + 1 < x2 + 6x + 9
x2‘ler iki taraftan sadeleşir:
-2x + 1 < 6x + 9
-2x’i sağa, 9’u sola atalım:
1 – 9 < 6x + 2x => -8 < 8x => -1 < x (yani x > -1) bulunur.
Her iki tarafı da mutlak değerli olan eşitsizlikleri çözmenin en güvenli yolu iki tarafın da karesini alarak mutlak değerden kurtulmaktır (Karesi alınan ifadenin mutlak değerine gerek kalmaz):
(x – 1)2 < (x + 3)2
x2 – 2x + 1 < x2 + 6x + 9
x2‘ler iki taraftan sadeleşir:
-2x + 1 < 6x + 9
-2x’i sağa, 9’u sola atalım:
1 – 9 < 6x + 2x => -8 < 8x => -1 < x (yani x > -1) bulunur.
16. |x – 3| = 3 – x ve |x – 1| = x – 1 denklemlerini aynı anda sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevap: D
İki denklemi ayrı ayrı analiz edelim:
1) |x – 3| = 3 – x ifadesi eksi ile çarpılarak çıktığı için: x – 3 ≤ 0 => x ≤ 3
2) |x – 1| = x – 1 ifadesi aynen çıktığı için: x – 1 ≥ 0 => x ≥ 1
Bu iki şartı birleştirirsek: 1 ≤ x ≤ 3 aralığını elde ederiz.
Bu aralıktaki x tam sayıları: 1, 2 ve 3’tür. Toplamları: 1 + 2 + 3 = 6 bulunur.
İki denklemi ayrı ayrı analiz edelim:
1) |x – 3| = 3 – x ifadesi eksi ile çarpılarak çıktığı için: x – 3 ≤ 0 => x ≤ 3
2) |x – 1| = x – 1 ifadesi aynen çıktığı için: x – 1 ≥ 0 => x ≥ 1
Bu iki şartı birleştirirsek: 1 ≤ x ≤ 3 aralığını elde ederiz.
Bu aralıktaki x tam sayıları: 1, 2 ve 3’tür. Toplamları: 1 + 2 + 3 = 6 bulunur.
17. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının -2 sayısına olan uzaklığı en fazla 4 birimdir. Bu ifadeyi veren mutlak değerli eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Matematikte iki sayı arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının mutlak değeri ile ifade edilir. x sayısının -2 sayısına uzaklığı:
|x – (-2)| = |x + 2| şeklindedir.
Bu uzaklık “en fazla 4” dendiği için 4’e eşit veya küçük olmalıdır (≤ 4).
Eşitsizliğimiz: |x + 2| ≤ 4 olur.
Matematikte iki sayı arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının mutlak değeri ile ifade edilir. x sayısının -2 sayısına uzaklığı:
|x – (-2)| = |x + 2| şeklindedir.
Bu uzaklık “en fazla 4” dendiği için 4’e eşit veya küçük olmalıdır (≤ 4).
Eşitsizliğimiz: |x + 2| ≤ 4 olur.
18. | (2x – 1) / (x + 2) | = 3 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: A
İfadeyi iki kola ayırıp içler dışlar çarpımı yapalım (Paydayı sıfır yapan x = -2 değerine dikkat edilmelidir):
1. Kol: (2x – 1) / (x + 2) = 3 => 2x – 1 = 3x + 6 => x = -7
2. Kol: (2x – 1) / (x + 2) = -3 => 2x – 1 = -3x – 6 => 5x = -5 => x = -1
Bulunan iki değer de paydayı sıfır yapmadığı için köktür. Toplamları: (-7) + (-1) = -8 bulunur.
İfadeyi iki kola ayırıp içler dışlar çarpımı yapalım (Paydayı sıfır yapan x = -2 değerine dikkat edilmelidir):
1. Kol: (2x – 1) / (x + 2) = 3 => 2x – 1 = 3x + 6 => x = -7
2. Kol: (2x – 1) / (x + 2) = -3 => 2x – 1 = -3x – 6 => 5x = -5 => x = -1
Bulunan iki değer de paydayı sıfır yapmadığı için köktür. Toplamları: (-7) + (-1) = -8 bulunur.
19. |x – 1| + |x – 2| + |x – 5| toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap: B
Mutlak değerli üç terimin toplamının en küçük değerini bulmanın pratik yolu, kritik noktaları küçükten büyüğe sıralayıp tam ortadaki (medyan) değeri fonksiyonda yerine yazmaktır. Kritik noktalar: 1, 2, 5. Ortadaki değer 2’dir.
x = 2 için ifadeyi hesaplayalım:
|2 – 1| + |2 – 2| + |2 – 5| = |1| + 0 + |-3| = 1 + 3 = 4 bulunur. (Diğer noktalar denense de 4’ten daha büyük sonuçlar çıkacaktır).
Mutlak değerli üç terimin toplamının en küçük değerini bulmanın pratik yolu, kritik noktaları küçükten büyüğe sıralayıp tam ortadaki (medyan) değeri fonksiyonda yerine yazmaktır. Kritik noktalar: 1, 2, 5. Ortadaki değer 2’dir.
x = 2 için ifadeyi hesaplayalım:
|2 – 1| + |2 – 2| + |2 – 5| = |1| + 0 + |-3| = 1 + 3 = 4 bulunur. (Diğer noktalar denense de 4’ten daha büyük sonuçlar çıkacaktır).
20. |x – 2| · |x + 2| = 5 denklemini sağlayan pozitif x gerçek sayısı kaçtır?
Cevap: B
Mutlak değerlerin çarpımını tek bir mutlak değer çatısı altında birleştirelim:
|(x – 2)(x + 2)| = 5
İçerideki ifade iki kare farkıdır: |x2 – 4| = 5
Buradan iki durum incelenir:
1) x2 – 4 = 5 => x2 = 9 => x = 3 veya x = -3
2) x2 – 4 = -5 => x2 = -1 (Gerçek sayılarda karesi negatif olamaz, kök gelmez).
Soruda “pozitif x sayısı” istendiği için cevap 3 olur.
Mutlak değerlerin çarpımını tek bir mutlak değer çatısı altında birleştirelim:
|(x – 2)(x + 2)| = 5
İçerideki ifade iki kare farkıdır: |x2 – 4| = 5
Buradan iki durum incelenir:
1) x2 – 4 = 5 => x2 = 9 => x = 3 veya x = -3
2) x2 – 4 = -5 => x2 = -1 (Gerçek sayılarda karesi negatif olamaz, kök gelmez).
Soruda “pozitif x sayısı” istendiği için cevap 3 olur.
Yorum gönder