3.Bölme ve Bölünebilme
KPSS Matematik: Bölme ve Bölünebilme Testi
1. Dört basamaklı 3A4B sayısı 5 ile kalansız bölünebiliyor. Bu sayı 3 ile de tam bölünebildiğine göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: D
Sayı 5’e tam bölünüyorsa birler basamağı B = 0 veya B = 5’tir.
B = 0 ise sayı 3A40 olur. 3’e bölünmesi için rakamlar toplamı: 3+A+4+0 = 7+A = 3k olmalı. A = 2, 5, 8 olabilir. (Toplam: 15)
B = 5 ise sayı 3A45 olur. 3’e bölünmesi için: 3+A+4+5 = 12+A = 3k olmalı. A = 0, 3, 6, 9 olabilir. (Toplam: 18)
A’nın alabileceği değerler toplamı: 15 + 18 = 33’tür.
Sayı 5’e tam bölünüyorsa birler basamağı B = 0 veya B = 5’tir.
B = 0 ise sayı 3A40 olur. 3’e bölünmesi için rakamlar toplamı: 3+A+4+0 = 7+A = 3k olmalı. A = 2, 5, 8 olabilir. (Toplam: 15)
B = 5 ise sayı 3A45 olur. 3’e bölünmesi için: 3+A+4+5 = 12+A = 3k olmalı. A = 0, 3, 6, 9 olabilir. (Toplam: 18)
A’nın alabileceği değerler toplamı: 15 + 18 = 33’tür.
2. Beş basamaklı 4x32y sayısı 45 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: C
Bir sayı 45’e tam bölünüyorsa aralarında asal çarpanları olan 5 ve 9’a tam bölünmelidir.
5’e tam bölünmesi için y = 0 veya y = 5 olmalıdır.
y = 0 için: Sayı 4×320 olur. 9’a tam bölünmesi için rakamları toplamı (9+x) 9’un katı olmalı. Buradan x = 0 veya x = 9 olur.
y = 5 için: Sayı 4×325 olur. Rakamları toplamı (14+x) 9’un katı olmalı. Buradan x = 4 olur.
x değerleri toplamı: 0 + 9 + 4 = 13 bulunur.
Bir sayı 45’e tam bölünüyorsa aralarında asal çarpanları olan 5 ve 9’a tam bölünmelidir.
5’e tam bölünmesi için y = 0 veya y = 5 olmalıdır.
y = 0 için: Sayı 4×320 olur. 9’a tam bölünmesi için rakamları toplamı (9+x) 9’un katı olmalı. Buradan x = 0 veya x = 9 olur.
y = 5 için: Sayı 4×325 olur. Rakamları toplamı (14+x) 9’un katı olmalı. Buradan x = 4 olur.
x değerleri toplamı: 0 + 9 + 4 = 13 bulunur.
3. x sayısının 7 ile bölümünden kalan 3’tür. Buna göre x² + 4x + 5 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
Modüler aritmetik mantığıyla x yerine direkt kalanı yani 3’ü yazabiliriz.
x² + 4x + 5 = 3² + 4(3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
26 sayısının 7 ile bölümünden kalan: 26 = 7×3 + 5 olduğundan cevap 5’tir.
Modüler aritmetik mantığıyla x yerine direkt kalanı yani 3’ü yazabiliriz.
x² + 4x + 5 = 3² + 4(3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26
26 sayısının 7 ile bölümünden kalan: 26 = 7×3 + 5 olduğundan cevap 5’tir.
4. Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 2a3b4 sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a+b toplamı en çok kaçtır?
Cevap: B
11 ile bölünebilme kuralına göre: (+ – + – +)
(4 + 3 + 2) – (b + a) = 11’in katı olmalı.
9 – (a + b) = 11k
k = 0 için a + b = 9 olur. (Rakamları farklı kuralını bozmayan 1 ve 8 gibi değerler alabilir). a+b en çok 9 olur.
11 ile bölünebilme kuralına göre: (+ – + – +)
(4 + 3 + 2) – (b + a) = 11’in katı olmalı.
9 – (a + b) = 11k
k = 0 için a + b = 9 olur. (Rakamları farklı kuralını bozmayan 1 ve 8 gibi değerler alabilir). a+b en çok 9 olur.
5. A sayısının B ile bölümünden bölüm 4, kalan 3’tür. B sayısının C ile bölümünden bölüm 3, kalan 2’dir. Buna göre A sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: E
Bölme kuralından:
A = 4B + 3
B = 3C + 2
B’nin değerini A’daki denklemde yerine yazalım:
A = 4(3C + 2) + 3 = 12C + 8 + 3 = 12C + 11
Bu ifadeye göre A sayısının 12’ye bölümünden kalan 11’dir.
Bölme kuralından:
A = 4B + 3
B = 3C + 2
B’nin değerini A’daki denklemde yerine yazalım:
A = 4(3C + 2) + 3 = 12C + 8 + 3 = 12C + 11
Bu ifadeye göre A sayısının 12’ye bölümünden kalan 11’dir.
6. Dört basamaklı 7a5b sayısı 36 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a’nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap: E
Sayı 36’ya tam bölünüyorsa 4’e ve 9’a tam bölünmelidir.
4’e tam bölünmesi için son iki basamağı 5b olan sayının 4’ün katı olması gerekir. (52 veya 56)
b=2 için: Sayı 7a52 olur. 9’a bölünmesi için (14+a)=9k -> a=4.
b=6 için: Sayı 7a56 olur. 9’a bölünmesi için (18+a)=9k -> a=0 veya a=9.
a’nın en büyük değeri 9’dur.
Sayı 36’ya tam bölünüyorsa 4’e ve 9’a tam bölünmelidir.
4’e tam bölünmesi için son iki basamağı 5b olan sayının 4’ün katı olması gerekir. (52 veya 56)
b=2 için: Sayı 7a52 olur. 9’a bölünmesi için (14+a)=9k -> a=4.
b=6 için: Sayı 7a56 olur. 9’a bölünmesi için (18+a)=9k -> a=0 veya a=9.
a’nın en büyük değeri 9’dur.
7. Üç basamaklı abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 4’tür. Bu sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre, a+b toplamı en çok kaçtır?
Cevap: D
10 ile bölümünden kalan 4 ise sayının birler basamağı (c) 4’tür. (Sayı: ab4)
3 ile tam bölünebildiğine göre: a + b + 4 = 3k olmalıdır.
a ve b birer rakam olduğuna göre toplamları en fazla 9+9=18 olabilir.
Deneyelim: a+b=18 olursa 18+4=22 (3’e bölünmez).
a+b=17 olursa 17+4=21 (3’e bölünür). 9 ve 8 rakamlarıyla 17 elde edilebilir. En çok 17’dir.
10 ile bölümünden kalan 4 ise sayının birler basamağı (c) 4’tür. (Sayı: ab4)
3 ile tam bölünebildiğine göre: a + b + 4 = 3k olmalıdır.
a ve b birer rakam olduğuna göre toplamları en fazla 9+9=18 olabilir.
Deneyelim: a+b=18 olursa 18+4=22 (3’e bölünmez).
a+b=17 olursa 17+4=21 (3’e bölünür). 9 ve 8 rakamlarıyla 17 elde edilebilir. En çok 17’dir.
8. 15 basamaklı 123123…123 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: B
Sayı 15 basamaklı olduğuna göre, 3 basamaklı “123” bloğu yan yana 5 kez yazılmıştır (15/3 = 5).
Bir bloğun rakamları toplamı: 1+2+3 = 6’dır.
Tüm sayının rakamları toplamı: 5 x 6 = 30’dur.
30’un 9 ile bölümünden kalan (3+0) = 3’tür.
Sayı 15 basamaklı olduğuna göre, 3 basamaklı “123” bloğu yan yana 5 kez yazılmıştır (15/3 = 5).
Bir bloğun rakamları toplamı: 1+2+3 = 6’dır.
Tüm sayının rakamları toplamı: 5 x 6 = 30’dur.
30’un 9 ile bölümünden kalan (3+0) = 3’tür.
9. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, x’in 15 ile bölümünden kalan 7, y’nin 15 ile bölümünden kalan 4’tür. x·y çarpımının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
x, 15 ile bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa, 5’e bölündüğünde kalanı bulmak için 7’yi 5’e böleriz (Kalan: 2).
y, 15 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, 5’e bölündüğünde kalan 4’tür.
x·y çarpımının kalanı = Kalan(x) · Kalan(y) = 2 · 4 = 8.
8’in 5 ile bölümünden kalan 3’tür.
x, 15 ile bölündüğünde 7 kalanını veriyorsa, 5’e bölündüğünde kalanı bulmak için 7’yi 5’e böleriz (Kalan: 2).
y, 15 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyorsa, 5’e bölündüğünde kalan 4’tür.
x·y çarpımının kalanı = Kalan(x) · Kalan(y) = 2 · 4 = 8.
8’in 5 ile bölümünden kalan 3’tür.
10. 23! + 24! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
Cevap: C
İfadeyi paranteze alalım: 23! + 24·23! = 23!(1 + 24) = 23! · 25
A) 46 = 23·2 (23! içinde çarpan var)
B) 50 = 25·2 (25 var, 23! içinde 2 var)
C) 58 = 29·2 (29 bir asal sayıdır ve 23! içinde de 25’te de bulunmaz. Bu yüzden bölünemez)
D) 69 = 23·3 (Var)
E) 115 = 23·5 (Var)
İfadeyi paranteze alalım: 23! + 24·23! = 23!(1 + 24) = 23! · 25
A) 46 = 23·2 (23! içinde çarpan var)
B) 50 = 25·2 (25 var, 23! içinde 2 var)
C) 58 = 29·2 (29 bir asal sayıdır ve 23! içinde de 25’te de bulunmaz. Bu yüzden bölünemez)
D) 69 = 23·3 (Var)
E) 115 = 23·5 (Var)
11. Beş basamaklı 5A23B sayısı 12 ile kalansız bölünebiliyor. A+B toplamının en büyük değeri kaçtır?
Cevap: D
12 ile bölünebilme: 3’e ve 4’e tam bölünmedir.
4’e tam bölünmesi için son iki rakam 32 veya 36 olmalıdır. (B = 2 veya B = 6)
B = 6 için (en büyük isteniyor): 5A236 sayısının 3’e tam bölünmesi gerekir.
5+A+2+3+6 = 16+A = 3k. A buradan 2, 5, 8 alabilir.
En büyük değer için A=8 seçilir. A+B = 8 + 6 = 14’tür.
12 ile bölünebilme: 3’e ve 4’e tam bölünmedir.
4’e tam bölünmesi için son iki rakam 32 veya 36 olmalıdır. (B = 2 veya B = 6)
B = 6 için (en büyük isteniyor): 5A236 sayısının 3’e tam bölünmesi gerekir.
5+A+2+3+6 = 16+A = 3k. A buradan 2, 5, 8 alabilir.
En büyük değer için A=8 seçilir. A+B = 8 + 6 = 14’tür.
12. x doğal sayısının y ile bölümünden bölüm 3, kalan 4’tür. y doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 2’dir. Buna göre x’in 15 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: E
Birinci denklem: x = 3y + 4
İkinci denklem: y = 5k + 2
Yerine yazalım: x = 3(5k + 2) + 4 = 15k + 6 + 4 = 15k + 10.
Buna göre x sayısının 15’in katından 10 fazla olduğu görülür. Kalan 10’dur.
Birinci denklem: x = 3y + 4
İkinci denklem: y = 5k + 2
Yerine yazalım: x = 3(5k + 2) + 4 = 15k + 6 + 4 = 15k + 10.
Buna göre x sayısının 15’in katından 10 fazla olduğu görülür. Kalan 10’dur.
13. 1’den 9’a kadar olan rakamlar yan yana yazılarak oluşturulan 123456789 sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: C
11 ile bölünebilme kuralına göre sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla (+ – + -) işaretlenip toplanır.
+lar: 9, 7, 5, 3, 1 (Toplamları = 25)
-ler: 8, 6, 4, 2 (Toplamları = 20)
Fark: 25 – 20 = 5. Kalan 5’tir.
11 ile bölünebilme kuralına göre sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla (+ – + -) işaretlenip toplanır.
+lar: 9, 7, 5, 3, 1 (Toplamları = 25)
-ler: 8, 6, 4, 2 (Toplamları = 20)
Fark: 25 – 20 = 5. Kalan 5’tir.
14. 6 basamaklı 3a4b5c sayısının 10 ile bölümünden kalan 2’dir. Bu sayı 4 ile tam bölünebildiğine göre, b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: E
Sayı 10’a bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa birler basamağı (c) kesinlikle 2’dir. Sayımız: 3a4b52 olur.
Sayı 4 ile tam bölünebiliyorsa son iki basamağa bakılır. “52” sayısı 4’e tam bölünür (4×13=52).
Son iki basamak zaten 4’ün katı olduğu için ‘b’ rakamı hangi değeri alırsa alsın sayı 4’e bölünmeye devam eder.
b rakamı: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerini alabilir. Rakamlar toplamı 45 yapar.
Sayı 10’a bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa birler basamağı (c) kesinlikle 2’dir. Sayımız: 3a4b52 olur.
Sayı 4 ile tam bölünebiliyorsa son iki basamağa bakılır. “52” sayısı 4’e tam bölünür (4×13=52).
Son iki basamak zaten 4’ün katı olduğu için ‘b’ rakamı hangi değeri alırsa alsın sayı 4’e bölünmeye devam eder.
b rakamı: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerini alabilir. Rakamlar toplamı 45 yapar.
15. x, y, z pozitif tam sayılardır. x sayısının y ile bölümünden kalan 5, y sayısının z ile bölümünden kalan 4’tür. z’nin alabileceği en küçük değer için x’in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap: C
Kalan bölenden daima küçük olmalıdır.
y > 5 ve z > 4 olmalı.
z en küçük 5 olur. z=5 için y’yi bulalım: y = 5k + 4. y’nin 5’ten büyük en küçük değeri k=1 için y = 9 olur.
x = y.m + 5 (m pozitif tam sayı, x’in en küçük olması için m=1 alınır)
x = 9(1) + 5 = 14 bulunur.
Kalan bölenden daima küçük olmalıdır.
y > 5 ve z > 4 olmalı.
z en küçük 5 olur. z=5 için y’yi bulalım: y = 5k + 4. y’nin 5’ten büyük en küçük değeri k=1 için y = 9 olur.
x = y.m + 5 (m pozitif tam sayı, x’in en küçük olması için m=1 alınır)
x = 9(1) + 5 = 14 bulunur.
16. 4A3B sayısının 5 ile bölümünden kalan 3’tür. Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: A
5’e bölümünden kalan 3 ise, B = 3 veya B = 8 olmalıdır.
B = 3 için sayı 4A33 olur. 9’a tam bölünmesi için: 4+A+3+3 = 10+A = 9k -> A = 8.
B = 8 için sayı 4A38 olur. 9’a tam bölünmesi için: 4+A+3+8 = 15+A = 9k -> A = 3.
A’nın alabileceği değerler toplamı: 8 + 3 = 11.
5’e bölümünden kalan 3 ise, B = 3 veya B = 8 olmalıdır.
B = 3 için sayı 4A33 olur. 9’a tam bölünmesi için: 4+A+3+3 = 10+A = 9k -> A = 8.
B = 8 için sayı 4A38 olur. 9’a tam bölünmesi için: 4+A+3+8 = 15+A = 9k -> A = 3.
A’nın alabileceği değerler toplamı: 8 + 3 = 11.
17. Rakamları birbirinden farklı 5 basamaklı 7x23y sayısı 4 ile kalansız bölünebiliyor. Bu sayının 3 ile de kalansız bölünebilmesi için x’in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevap: B
4’e bölünebilme kuralı için son iki rakam (3y) 4’ün katı olmalı: y=2 veya y=6.
Rakamları farklı dendiği için, sayıda zaten 2 bulunduğu için y=2 olamaz. Sadece y=6 olabilir.
Sayı: 7×236 olur.
3’e bölünmesi için: 7+x+2+3+6 = 18+x = 3k. Buradan x = 0, 3, 6, 9 alabilir.
Rakamlar farklı olduğu için 3 ve 6 sayıları kullanılamaz. Geriye x için sadece 0 ve 9 kalır. 2 farklı değer.
4’e bölünebilme kuralı için son iki rakam (3y) 4’ün katı olmalı: y=2 veya y=6.
Rakamları farklı dendiği için, sayıda zaten 2 bulunduğu için y=2 olamaz. Sadece y=6 olabilir.
Sayı: 7×236 olur.
3’e bölünmesi için: 7+x+2+3+6 = 18+x = 3k. Buradan x = 0, 3, 6, 9 alabilir.
Rakamlar farklı olduğu için 3 ve 6 sayıları kullanılamaz. Geriye x için sadece 0 ve 9 kalır. 2 farklı değer.
18. A sayısının 13 ile bölümünden kalan 5’tir. Buna göre A³ + 2A sayısının 13 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: B
Kalan bulma işlemlerinde A yerine direkt kalanı yazabiliriz. A = 5 diyelim.
A³ + 2A = 5³ + 2(5) = 125 + 10 = 135.
135 sayısının 13 ile bölümünden kalanı bulalım: 13 x 10 = 130 yapar. 135 – 130 = 5 bulunur. Kalan 5’tir.
Kalan bulma işlemlerinde A yerine direkt kalanı yazabiliriz. A = 5 diyelim.
A³ + 2A = 5³ + 2(5) = 125 + 10 = 135.
135 sayısının 13 ile bölümünden kalanı bulalım: 13 x 10 = 130 yapar. 135 – 130 = 5 bulunur. Kalan 5’tir.
19. Bir x sayısının 12 ile bölümünden bölüm y, kalan 7’dir. y sayısının 8 ile bölümünden kalan 5’tir. Buna göre x sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: D
1. Denklem: x = 12y + 7
2. Denklem: y = 8k + 5
y’yi ilk denklemde yerine yazalım:
x = 12(8k + 5) + 7 = 96k + 60 + 7 = 96k + 67
x = 96k + 67 oldu. 96 zaten 24’ün katıdır (24×4). 67’nin 24’e bölümünden kalanı bulmamız yeterlidir.
67 = 24×2 + 19 olduğundan kalan 19’dur.
1. Denklem: x = 12y + 7
2. Denklem: y = 8k + 5
y’yi ilk denklemde yerine yazalım:
x = 12(8k + 5) + 7 = 96k + 60 + 7 = 96k + 67
x = 96k + 67 oldu. 96 zaten 24’ün katıdır (24×4). 67’nin 24’e bölümünden kalanı bulmamız yeterlidir.
67 = 24×2 + 19 olduğundan kalan 19’dur.
20. Üç basamaklı ABC sayısı için A + C = B eşitliği sağlanmaktadır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle tam bölünür?
Cevap: E
11 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım: Birler basamağından başlayarak (+ – +) şeklinde işaretleme yapılır.
ABC sayısı için: (+C) (-B) (+A) = (A + C) – B
Soruda verilen eşitliğe göre (A + C) yerine B yazarsak:
B – B = 0 bulunur.
11 ile bölünebilme kuralında sonuç 0 veya 11’in katı çıkıyorsa sayı 11’e tam bölünür. Dolayısıyla sayı 11’e kesinlikle tam bölünür.
11 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım: Birler basamağından başlayarak (+ – +) şeklinde işaretleme yapılır.
ABC sayısı için: (+C) (-B) (+A) = (A + C) – B
Soruda verilen eşitliğe göre (A + C) yerine B yazarsak:
B – B = 0 bulunur.
11 ile bölünebilme kuralında sonuç 0 veya 11’in katı çıkıyorsa sayı 11’e tam bölünür. Dolayısıyla sayı 11’e kesinlikle tam bölünür.
Yorum gönder