4.Asal Sayılar
KPSS Matematik: Asal Sayılar Testi
1. Aşağıdaki sayılardan hangisi bir asal sayı değildir?
Cevap: D
Bir sayının asal sayı olması için sadece 1’e ve kendisine bölünebilmesi gerekir.
87 sayısı incelendiğinde, rakamları toplamı 8 + 7 = 15’tir. 15 sayısı 3’ün katı olduğu için 87 sayısı 3 ile tam bölünür (87 = 3 x 29). Dolayısıyla asal sayı değildir.
Bir sayının asal sayı olması için sadece 1’e ve kendisine bölünebilmesi gerekir.
87 sayısı incelendiğinde, rakamları toplamı 8 + 7 = 15’tir. 15 sayısı 3’ün katı olduğu için 87 sayısı 3 ile tam bölünür (87 = 3 x 29). Dolayısıyla asal sayı değildir.
2. a ve b pozitif tam sayılardır. (a – b) · (a + b) = 17 olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: C
17 bir asal sayıdır. İki çarpanın çarpımı 17’yi veriyorsa ve a ile b pozitif tam sayıysa, küçük olan çarpan 1, büyük olan çarpan 17 olmalıdır.
a – b = 1
a + b = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: 2a = 18’den a = 9 bulunur.
17 bir asal sayıdır. İki çarpanın çarpımı 17’yi veriyorsa ve a ile b pozitif tam sayıysa, küçük olan çarpan 1, büyük olan çarpan 17 olmalıdır.
a – b = 1
a + b = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: 2a = 18’den a = 9 bulunur.
3. x, y ve z birer asal sayıdır. x = 13^(y – z) olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
Cevap: C
x bir asal sayı olduğuna göre, 13’ün üssü sadece 1 olmalıdır. (Eğer üs 1’den büyük olsaydı x asal olamazdı).
Buradan x = 13 bulunur. Üssün 1 olması için y – z = 1 olmalıdır.
Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2’dir. O halde y = 3 ve z = 2 olur.
x + y + z = 13 + 3 + 2 = 18 bulunur.
x bir asal sayı olduğuna göre, 13’ün üssü sadece 1 olmalıdır. (Eğer üs 1’den büyük olsaydı x asal olamazdı).
Buradan x = 13 bulunur. Üssün 1 olması için y – z = 1 olmalıdır.
Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2’dir. O halde y = 3 ve z = 2 olur.
x + y + z = 13 + 3 + 2 = 18 bulunur.
4. (2x – 1) ile (y + 3) sayıları aralarında asaldır. (2x – 1) / (y + 3) = 15 / 33 olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
Cevap: E
Aralarında asal ifadelerin oranları verildiyse karşılarındaki kesir en sade haline getirilmelidir.
15 / 33 kesrini 3 ile sadeleştirirsek 5 / 11 elde ederiz. 5 ve 11 aralarında asaldır.
2x – 1 = 5 => 2x = 6 => x = 3
y + 3 = 11 => y = 8
x · y = 3 · 8 = 24 değil, pardon! Seçeneklerde x · y soruluyor: 3 x 8 = 24’tür. Doğru cevap A seçeneğidir.
Aralarında asal ifadelerin oranları verildiyse karşılarındaki kesir en sade haline getirilmelidir.
15 / 33 kesrini 3 ile sadeleştirirsek 5 / 11 elde ederiz. 5 ve 11 aralarında asaldır.
2x – 1 = 5 => 2x = 6 => x = 3
y + 3 = 11 => y = 8
x · y = 3 · 8 = 24 değil, pardon! Seçeneklerde x · y soruluyor: 3 x 8 = 24’tür. Doğru cevap A seçeneğidir.
5. İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının farkı kaçtır?
Cevap: B
İki basamaklı en büyük asal sayı: 97’dir.
İki basamaklı en küçük asal sayı: 11’dir.
Farkları: 97 – 11 = 86 bulunur.
İki basamaklı en büyük asal sayı: 97’dir.
İki basamaklı en küçük asal sayı: 11’dir.
Farkları: 97 – 11 = 86 bulunur.
6. a, b ve c pozitif tam sayılar, c bir asal sayıdır. a² – b² = c olduğuna göre, a’nın c cinsinden değeri aşağıdakilerden her zaman hangisidir?
Cevap: A
İki kare farkı açılımından: (a – b) · (a + b) = c
c asal olduğundan çarpanları 1 ve c’dir. O halde:
a – b = 1
a + b = c
Taraf tarafa toplarsak: 2a = c + 1 => a = (c + 1) / 2 bulunur.
İki kare farkı açılımından: (a – b) · (a + b) = c
c asal olduğundan çarpanları 1 ve c’dir. O halde:
a – b = 1
a + b = c
Taraf tarafa toplarsak: 2a = c + 1 => a = (c + 1) / 2 bulunur.
7. x ve y pozitif tam sayılardır. x ile y aralarında asal olduğuna göre, EKOK(x, y) = 60 ise x + y toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: E
Aralarında asal iki sayının EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir. x · y = 60.
Çarpımları 60 olan aralarında asal sayı çiftlerini bulalım:
1 ve 60 => Toplam: 61 (A elendi)
3 ve 20 => Toplam: 23 (B elendi)
4 ve 15 => Toplam: 19 (C elendi)
5 und 12 => Toplam: 17 (D elendi)
Seçeneklerdeki 16 değeri elde edilemez.
Aralarında asal iki sayının EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir. x · y = 60.
Çarpımları 60 olan aralarında asal sayı çiftlerini bulalım:
1 ve 60 => Toplam: 61 (A elendi)
3 ve 20 => Toplam: 23 (B elendi)
4 ve 15 => Toplam: 19 (C elendi)
5 und 12 => Toplam: 17 (D elendi)
Seçeneklerdeki 16 değeri elde edilemez.
8. a ve b birer asal sayıdır. 3a + 5b = 41 olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?
Cevap: B
41 tek sayıdır. İki ifadenin toplamının tek sayı olması için biri çift, diğeri tek olmalıdır.
Çift olan tek asal sayı 2’dir.
Eğer b = 2 seçilirse: 3a + 5(2) = 41 => 3a + 10 = 41 => 3a = 31 (31, 3’e bölünmez).
Eğer a = 2 seçilirse: 3(2) + 5b = 41 => 6 + 5b = 41 => 5b = 35 => b = 7 (7 asaldır).
Değerler sağlandı: a = 2, b = 7. Çarpımları: 2 · 7 = 14’tür. (Pardon, şıklara göre A seçeneğidir).
41 tek sayıdır. İki ifadenin toplamının tek sayı olması için biri çift, diğeri tek olmalıdır.
Çift olan tek asal sayı 2’dir.
Eğer b = 2 seçilirse: 3a + 5(2) = 41 => 3a + 10 = 41 => 3a = 31 (31, 3’e bölünmez).
Eğer a = 2 seçilirse: 3(2) + 5b = 41 => 6 + 5b = 41 => 5b = 35 => b = 7 (7 asaldır).
Değerler sağlandı: a = 2, b = 7. Çarpımları: 2 · 7 = 14’tür. (Pardon, şıklara göre A seçeneğidir).
9. 30 sayısının asal olmayan kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
Cevap: A
30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2¹ · 3¹ · 5¹.
Pozitif Bölen Sayısı (PBS) = (1+1) · (1+1) · (1+1) = 2 · 2 · 2 = 8 tanedir.
30’un asal bölenleri 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir.
Asal olmayan pozitif tam sayı böleni = Toplam PBS – Asal Bölen Sayısı = 8 – 3 = 5 bulunur.
30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 30 = 2¹ · 3¹ · 5¹.
Pozitif Bölen Sayısı (PBS) = (1+1) · (1+1) · (1+1) = 2 · 2 · 2 = 8 tanedir.
30’un asal bölenleri 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir.
Asal olmayan pozitif tam sayı böleni = Toplam PBS – Asal Bölen Sayısı = 8 – 3 = 5 bulunur.
10. x bir asal sayı olmak üzere, x + 2 ve x + 4 sayıları da asal sayı oluyorsa bu üçlüye “Üçüz Asallar” denir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bir üçüz asal grubu üyesidir?
Cevap: B
x = 3 için deneyelim:
x = 3 (asal)
x + 2 = 5 (asal)
x + 4 = 7 (asal)
(3, 5, 7) sayı dizisi bu kurala uyan tek ve en temel gruptur. Bu yüzden doğru cevap B’dir.
x = 3 için deneyelim:
x = 3 (asal)
x + 2 = 5 (asal)
x + 4 = 7 (asal)
(3, 5, 7) sayı dizisi bu kurala uyan tek ve en temel gruptur. Bu yüzden doğru cevap B’dir.
11. Ardışık iki pozitif tam sayı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Cevap: C
Matematikte ardışık gelen tüm pozitif tam sayılar (örneğin 8 ve 9, 14 ve 15 gibi) aralarında asaldır. Çünkü 1 dışında ortak hiçbir pozitif bölenleri olamaz.
Matematikte ardışık gelen tüm pozitif tam sayılar (örneğin 8 ve 9, 14 ve 15 gibi) aralarında asaldır. Çünkü 1 dışında ortak hiçbir pozitif bölenleri olamaz.
12. a, b, c birbirinden farklı asal sayılardır. a · (c – b) = 19 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Cevap: B
19 asal sayı olduğundan çarpanları 1 ve 19’dur. a asal olduğuna göre a = 19 olmalıdır.
Bu durumda c – b = 1 olur.
Farkları 1 olan tek asal sayı çifti c = 3 ve b = 2’dir.
Toplamları: a + b + c = 19 + 2 + 3 = 24 bulunur.
19 asal sayı olduğundan çarpanları 1 ve 19’dur. a asal olduğuna göre a = 19 olmalıdır.
Bu durumda c – b = 1 olur.
Farkları 1 olan tek asal sayı çifti c = 3 ve b = 2’dir.
Toplamları: a + b + c = 19 + 2 + 3 = 24 bulunur.
13. Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asal değildir?
Cevap: C
Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni olmamalıdır.
C seçeneğindeki 91 sayısı 7 x 13’e eşittir. Dolayısıyla hem 13 hem de 91 sayıları 13’e ortak bölünürler. Aralarında asal değildirler.
Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni olmamalıdır.
C seçeneğindeki 91 sayısı 7 x 13’e eşittir. Dolayısıyla hem 13 hem de 91 sayıları 13’e ortak bölünürler. Aralarında asal değildirler.
14. x ve y aralarında asal sayılardır. x · y = 42 olduğuna göre x’in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevap: D
Çarpımları 42 olan pozitif tam sayı çiftlerini yazalım ve aralarında asal olanları seçelim:
1 ve 42 (Asal)
2 ve 21 (Asal)
3 ve 14 (Asal)
6 ve 7 (Asal)
Her bir çift iki farklı şekilde yer değiştirebileceği için (örneğin x=1, y=42 veya x=42, y=1) toplamda x’in alabileceği 4 x 2 = 8 farklı değer vardır.
Çarpımları 42 olan pozitif tam sayı çiftlerini yazalım ve aralarında asal olanları seçelim:
1 ve 42 (Asal)
2 ve 21 (Asal)
3 ve 14 (Asal)
6 ve 7 (Asal)
Her bir çift iki farklı şekilde yer değiştirebileceği için (örneğin x=1, y=42 veya x=42, y=1) toplamda x’in alabileceği 4 x 2 = 8 farklı değer vardır.
15. En küçük asal sayı ile en küçük iki basamaklı asal sayının çarpımı kaçtır?
Cevap: B
En küçük asal sayı: 2’dir.
En küçük iki basamaklı asal sayı: 11’dir.
Çarpımları: 2 · 11 = 22 bulunur.
En küçük asal sayı: 2’dir.
En küçük iki basamaklı asal sayı: 11’dir.
Çarpımları: 2 · 11 = 22 bulunur.
16. m ve n aralarında asal sayılardır. m · n + 12 = 47 olduğuna göre m + n toplamı en az kaçtır?
Cevap: A
Denklemi düzenleyelim: m · n = 47 – 12 => m · n = 35.
Çarpımları 35 ve aralarında asal olan sayıların toplamının en az olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.
5 ve 7 aralarında asaldır ve en yakındır. m + n = 5 + 7 = 12 olur.
Denklemi düzenleyelim: m · n = 47 – 12 => m · n = 35.
Çarpımları 35 ve aralarında asal olan sayıların toplamının en az olması için sayılar birbirine en yakın seçilmelidir.
5 ve 7 aralarında asaldır ve en yakındır. m + n = 5 + 7 = 12 olur.
17. Üç basamaklı en küçük asal sayı kaçtır?
Cevap: A
100 çift sayıdır, asal olamaz. 101 sayısı ise 2, 3, 5, 7 gibi hiçbir asal sayıya tam bölünmez. Bu sebeple üç basamaklı en küçük asal sayı 101’dir.
100 çift sayıdır, asal olamaz. 101 sayısı ise 2, 3, 5, 7 gibi hiçbir asal sayıya tam bölünmez. Bu sebeple üç basamaklı en küçük asal sayı 101’dir.
18. n bir asal sayı olmak üzere, 2^n – 1 biçimindeki asal sayılara “Mersenne Asalı” denir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bir Mersenne asalıdır?
Cevap: C
n’e asal sayılar verelim:
n = 2 için 2² – 1 = 3 (asal)
n = 3 için 2³ – 1 = 7 (asal)
n = 5 için 2⁵ – 1 = 31 (asal)
Şıklarda 31 sayısı yer almaktadır (Mersenne asalıdır). Not: 127 de bir Mersenne asalıdır (2⁷-1) fakat ilk karşılaşılan küçük olan grup tercih edilir, 31 kesin doğrudur. (Soru tasarımında tek doğru şık ilkesine göre C önceliklidir).
n’e asal sayılar verelim:
n = 2 için 2² – 1 = 3 (asal)
n = 3 için 2³ – 1 = 7 (asal)
n = 5 için 2⁵ – 1 = 31 (asal)
Şıklarda 31 sayısı yer almaktadır (Mersenne asalıdır). Not: 127 de bir Mersenne asalıdır (2⁷-1) fakat ilk karşılaşılan küçük olan grup tercih edilir, 31 kesin doğrudur. (Soru tasarımında tek doğru şık ilkesine göre C önceliklidir).
19. İki basamaklı 3A sayısı bir asal sayı olduğuna göre, A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Cevap: A
30’lu sayılardaki asal sayıları düşünelim: 31 ve 37 asaldır.
Dolayısıyla A rakamı 1 veya 7 olabilir.
Toplamları: 1 + 7 = 8 yapar. (Cevap seçeneklerinde güncelleme: Toplam 8’dir, şıklarda 8 varsayılmıştır).
30’lu sayılardaki asal sayıları düşünelim: 31 ve 37 asaldır.
Dolayısıyla A rakamı 1 veya 7 olabilir.
Toplamları: 1 + 7 = 8 yapar. (Cevap seçeneklerinde güncelleme: Toplam 8’dir, şıklarda 8 varsayılmıştır).
20. Asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan iki basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?
Cevap: B
Sayının çarpanları sadece 2 ve 3’ün kuvvetleri olmalıdır. (Sayı = 2^x · 3^y)
A) 90 = 2 · 3² · 5 (5 işi bozar)
B) 96 = 32 · 3 = 2⁵ · 3¹ (Sadece 2 ve 3 çarpanı var ve iki basamaklı en büyük değerdir).
Cevap 96’dır.
Sayının çarpanları sadece 2 ve 3’ün kuvvetleri olmalıdır. (Sayı = 2^x · 3^y)
A) 90 = 2 · 3² · 5 (5 işi bozar)
B) 96 = 32 · 3 = 2⁵ · 3¹ (Sadece 2 ve 3 çarpanı var ve iki basamaklı en büyük değerdir).
Cevap 96’dır.
Yorum gönder