5. Faktöriyel
KPSS Matematik: Faktöriyel Testi
1. (8! – 7!) / 6! işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Pay kısmındaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım:
8! = 8 * 7!
8! – 7! = 7! * (8 – 1) = 7! * 7
Şimdi ifadeyi yerine yazıp paydaya bölelim:
(7! * 7) / 6! = (7 * 6! * 7) / 6! = 7 * 7 = 49 bulunur.
Pay kısmındaki ifadeleri ortak çarpan parantezine alalım:
8! = 8 * 7!
8! – 7! = 7! * (8 – 1) = 7! * 7
Şimdi ifadeyi yerine yazıp paydaya bölelim:
(7! * 7) / 6! = (7 * 6! * 7) / 6! = 7 * 7 = 49 bulunur.
2. a ve b pozitif tam sayılardır. a! = 120 * b! olduğuna göre, bu şartı sağlayan kaç farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır?
Cevap: C
a! / b! = 120 eşitliğini inceleyelim:
1) b = 119 için a = 120 olur. (120! / 119! = 120) -> (120, 119)
2) 120 sayısı ardışık çarpanlara ayrılabilir: 120 = 6 * 5 * 4. Bu durumda b = 3 seçilirse a = 6 olur. (6! / 3! = 6 * 5 * 4 = 120) -> (6, 3)
3) 120 sayısı doğrudan 5! değerine eşittir. b! ifadesi etkisiz olmalıdır. Pozitif tam sayı dendiği için b = 1 seçilirse a = 5 olur. (5! / 1! = 120) -> (5, 1)
Toplamda 3 farklı ikili vardır.
a! / b! = 120 eşitliğini inceleyelim:
1) b = 119 için a = 120 olur. (120! / 119! = 120) -> (120, 119)
2) 120 sayısı ardışık çarpanlara ayrılabilir: 120 = 6 * 5 * 4. Bu durumda b = 3 seçilirse a = 6 olur. (6! / 3! = 6 * 5 * 4 = 120) -> (6, 3)
3) 120 sayısı doğrudan 5! değerine eşittir. b! ifadesi etkisiz olmalıdır. Pozitif tam sayı dendiği için b = 1 seçilirse a = 5 olur. (5! / 1! = 120) -> (5, 1)
Toplamda 3 farklı ikili vardır.
3. 60! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Cevap: D
Bir faktöriyel değerinin sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 asal çarpanlarının sayısına eşittir. Bunu bulmak için sayı sürekli 5’e bölünür ve bölümler toplanır:
60 / 5 = 12
12 / 5 = 2
Bölümler toplamı: 12 + 2 = 14 basamağı sıfırdır.
Bir faktöriyel değerinin sonundaki sıfır sayısı, içindeki 5 asal çarpanlarının sayısına eşittir. Bunu bulmak için sayı sürekli 5’e bölünür ve bölümler toplanır:
60 / 5 = 12
12 / 5 = 2
Bölümler toplamı: 12 + 2 = 14 basamağı sıfırdır.
4. 0! + 1! + 2! + 3! + … + 50! toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: E
5! ve sonrasındaki tüm faktöriyel değerlerinin içinde 5 çarpanı bulunduğu için bu sayıların 5 ile bölümünden kalan 0’dır.
Bu yüzden sadece 5!’e kadar olan terimleri hesaplamamız yeterlidir:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Toplam: 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 yapar.
34’ün 5 ile bölümünden kalan ise 4’tür.
5! ve sonrasındaki tüm faktöriyel değerlerinin içinde 5 çarpanı bulunduğu için bu sayıların 5 ile bölümünden kalan 0’dır.
Bu yüzden sadece 5!’e kadar olan terimleri hesaplamamız yeterlidir:
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Toplam: 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 yapar.
34’ün 5 ile bölümünden kalan ise 4’tür.
5. (n + 2)! / n! = 42 olduğuna göre, n kaçtır?
Cevap: B
Büyük olan faktöriyeli küçük olana benzeterek açalım:
(n + 2)! = (n + 2) * (n + 1) * n!
Denklemde yerine yazarsak n! ifadeleri sadeleşir:
(n + 2) * (n + 1) = 42
Ardışık hangi iki sayının çarpımı 42’dir? 7 * 6 = 42.
Buradan n + 1 = 6 => n = 5 bulunur.
Büyük olan faktöriyeli küçük olana benzeterek açalım:
(n + 2)! = (n + 2) * (n + 1) * n!
Denklemde yerine yazarsak n! ifadeleri sadeleşir:
(n + 2) * (n + 1) = 42
Ardışık hangi iki sayının çarpımı 42’dir? 7 * 6 = 42.
Buradan n + 1 = 6 => n = 5 bulunur.
6. x ve y pozitif tam sayılardır. 35! = 3^x * y olduğuna göre, x’in alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevap: D
35! içindeki maksimum 3 çarpanı sayısını bulmak için 35’i sürekli 3’e bölerek bölümleri toplarız:
35 / 3 = 11
11 / 3 = 3
3 / 3 = 1
Bölümler toplamı: 11 + 3 + 1 = 15 bulunur. x en çok 15 olabilir.
35! içindeki maksimum 3 çarpanı sayısını bulmak için 35’i sürekli 3’e bölerek bölümleri toplarız:
35 / 3 = 11
11 / 3 = 3
3 / 3 = 1
Bölümler toplamı: 11 + 3 + 1 = 15 bulunur. x en çok 15 olabilir.
7. x ve y pozitif tam sayılardır. 20! = 6^x * y olduğuna göre, x en çok kaçtır?
Cevap: B
6 bileşik bir sayıdır ve asal çarpanları 2 ve 3’tür (6 = 2 * 3). Bu tür sorularda büyük olan asal çarpana (3’e) bakılır. Çünkü 3 çarpanı, 2 çarpanına göre daha az sayıda bulunur ve sınırlayıcıdır:
20 / 3 = 6
6 / 3 = 2
Bölümler toplamı: 6 + 2 = 8’dir. x en çok 8 olabilir.
6 bileşik bir sayıdır ve asal çarpanları 2 ve 3’tür (6 = 2 * 3). Bu tür sorularda büyük olan asal çarpana (3’e) bakılır. Çünkü 3 çarpanı, 2 çarpanına göre daha az sayıda bulunur ve sınırlayıcıdır:
20 / 3 = 6
6 / 3 = 2
Bölümler toplamı: 6 + 2 = 8’dir. x en çok 8 olabilir.
8. (x – 4)! + (4 – x)! + 5! ifadesinin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Faktöriyel tanımı gereği içi negatif olamaz (n ≥ 0).
x – 4 ≥ 0 => x ≥ 4
4 – x ≥ 0 => x ≤ 4
Bu iki şartı aynı anda sağlayan tek değer x = 4’tür.
Yerine yazarsak:
(4 – 4)! + (4 – 4)! + 5! = 0! + 0! + 5! = 1 + 1 + 120 = 122 bulunur.
Faktöriyel tanımı gereği içi negatif olamaz (n ≥ 0).
x – 4 ≥ 0 => x ≥ 4
4 – x ≥ 0 => x ≤ 4
Bu iki şartı aynı anda sağlayan tek değer x = 4’tür.
Yerine yazarsak:
(4 – 4)! + (4 – 4)! + 5! = 0! + 0! + 5! = 1 + 1 + 120 = 122 bulunur.
9. 11! – 10! sayısı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
Cevap: E
İfadeyi paranteze alıp düzenleyelim:
11! – 10! = 11 * 10! – 10! = 10! * (11 – 1) = 10! * 10
Oluşan yeni çarpan yapısında 13 asal sayısı yer almaz, çünkü en büyük asal çarpan 10!’den ötürü 7’dir. Bu yüzden sayı 13’e tam bölünemez.
İfadeyi paranteze alıp düzenleyelim:
11! – 10! = 11 * 10! – 10! = 10! * (11 – 1) = 10! * 10
Oluşan yeni çarpan yapısında 13 asal sayısı yer almaz, çünkü en büyük asal çarpan 10!’den ötürü 7’dir. Bu yüzden sayı 13’e tam bölünemez.
10. 45! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
Cevap: C
Bir sayının sonundaki 9 sayısı, o sayıdan 1 çıkarılmadan önceki sonundaki sıfır sayısına eşittir (Örn: 1000 – 1 = 999).
45! sonundaki sıfır sayısını bulalım:
45 / 5 = 9
9 / 5 = 1
9 + 1 = 10 basamağı sıfırdır. Dolayısıyla 45! – 1 sayısının sondan 10 basamağı 9’dur.
Bir sayının sonundaki 9 sayısı, o sayıdan 1 çıkarılmadan önceki sonundaki sıfır sayısına eşittir (Örn: 1000 – 1 = 999).
45! sonundaki sıfır sayısını bulalım:
45 / 5 = 9
9 / 5 = 1
9 + 1 = 10 basamağı sıfırdır. Dolayısıyla 45! – 1 sayısının sondan 10 basamağı 9’dur.
11. a, b, c ardışık pozitif tam sayılar ve a < b < c olmak üzere; (a! + b!) / c! = 1/8 olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: B
Ardışık oldukları için b = a + 1 ve c = a + 2 alabiliriz.
Pay: a! + (a + 1)! = a! + (a + 1)*a! = a! * (1 + a + 1) = a! * (a + 2)
Payda: c! = (a + 2)! = (a + 2) * (a + 1) * a!
Oranlarsak: [a! * (a + 2)] / [(a + 2) * (a + 1) * a!] = 1 / (a + 1) kalır.
1 / (a + 1) = 1 / 8 ise a + 1 = 8 => a = 7 yanlış şık hesabı yapmayalım; b=a+1, c=a+2 dedik. a=6 olmalıdır çünkü 1/(a+1) değil, adımları tekrar kontrol edin:
Payda (a+2)(a+1)a!, pay ise a!(a+2). Sadeleşince 1/(a+1) kalır. 1/(a+1)=1/8 ise a=7’dir. Doğru cevap C’dir.
Ardışık oldukları için b = a + 1 ve c = a + 2 alabiliriz.
Pay: a! + (a + 1)! = a! + (a + 1)*a! = a! * (1 + a + 1) = a! * (a + 2)
Payda: c! = (a + 2)! = (a + 2) * (a + 1) * a!
Oranlarsak: [a! * (a + 2)] / [(a + 2) * (a + 1) * a!] = 1 / (a + 1) kalır.
1 / (a + 1) = 1 / 8 ise a + 1 = 8 => a = 7 yanlış şık hesabı yapmayalım; b=a+1, c=a+2 dedik. a=6 olmalıdır çünkü 1/(a+1) değil, adımları tekrar kontrol edin:
Payda (a+2)(a+1)a!, pay ise a!(a+2). Sadeleşince 1/(a+1) kalır. 1/(a+1)=1/8 ise a=7’dir. Doğru cevap C’dir.
12. 23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Cevap: C
Küçük olan ifadenin parantezine alalım:
23! + 24 * 23! = 23! * (1 + 24) = 23! * 25 = 23! * 5^2
23! içindeki 5 sayısını bulalım: 23 / 5 = 4.
Yandaki 25 çarpanından da (5^2) iki tane 5 çarpanı gelir.
Toplam 5 çarpanı sayısı: 4 + 2 = 6 basamak sıfırdır.
Küçük olan ifadenin parantezine alalım:
23! + 24 * 23! = 23! * (1 + 24) = 23! * 25 = 23! * 5^2
23! içindeki 5 sayısını bulalım: 23 / 5 = 4.
Yandaki 25 çarpanından da (5^2) iki tane 5 çarpanı gelir.
Toplam 5 çarpanı sayısı: 4 + 2 = 6 basamak sıfırdır.
13. x! / (x – 2)! = 90 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Pay kısmını açalım:
[x * (x – 1) * (x – 2)!] / (x – 2)! = 90
x * (x – 1) = 90
Çarpımları 90 olan ardışık sayılar 10 ve 9’dur. Buradan x = 10 bulunur.
Pay kısmını açalım:
[x * (x – 1) * (x – 2)!] / (x – 2)! = 90
x * (x – 1) = 90
Çarpımları 90 olan ardışık sayılar 10 ve 9’dur. Buradan x = 10 bulunur.
14. 11! + 12! toplamının en büyük asal çarpanı kaçtır?
Cevap: C
İfadeyi düzenleyelim:
11! + 12 * 11! = 11! * (1 + 12) = 11! * 13
11! içindeki en büyük asal sayı 11’dir. Fakat yandaki 13 çarpanı asal bir sayıdır ve değeri daha büyüktür. Bu yüzden ifadenin tamamının en büyük asal çarpanı 13 olur.
İfadeyi düzenleyelim:
11! + 12 * 11! = 11! * (1 + 12) = 11! * 13
11! içindeki en büyük asal sayı 11’dir. Fakat yandaki 13 çarpanı asal bir sayıdır ve değeri daha büyüktür. Bu yüzden ifadenin tamamının en büyük asal çarpanı 13 olur.
15. A = 44! ve B = 35! olmak üzere, A + B toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Cevap: A
Aralarında belirgin büyüklük farkı olan iki faktöriyel toplandığında, küçük olan sayının sonundaki sıfır sayısı toplamın sonundaki sıfır sayısını belirler (Çünkü büyük sayının bol sıfırlı basamaklarına karşılık küçük sayının sayısal değerleri gelip sıfırları bozar).
35! sonundaki sıfırlara bakalım:
35 / 5 = 7
7 / 5 = 1
7 + 1 = 8 basamak sıfırdır.
Aralarında belirgin büyüklük farkı olan iki faktöriyel toplandığında, küçük olan sayının sonundaki sıfır sayısı toplamın sonundaki sıfır sayısını belirler (Çünkü büyük sayının bol sıfırlı basamaklarına karşılık küçük sayının sayısal değerleri gelip sıfırları bozar).
35! sonundaki sıfırlara bakalım:
35 / 5 = 7
7 / 5 = 1
7 + 1 = 8 basamak sıfırdır.
16. ((n + 1)! + n!) / ((n + 1)! – n!) = 5/4 olduğuna göre, n kaçtır?
Cevap: D
Pay ve paydayı n! parantezine alalım:
Pay: n! * (n + 1 + 1) = n! * (n + 2)
Payda: n! * (n + 1 – 1) = n! * n
n! ifadeleri sadeleşir: (n + 2) / n = 5 / 4
İçler dışlar çarpımı yapalım: 4n + 8 = 5n => n = 8 bulunur.
Pay ve paydayı n! parantezine alalım:
Pay: n! * (n + 1 + 1) = n! * (n + 2)
Payda: n! * (n + 1 – 1) = n! * n
n! ifadeleri sadeleşir: (n + 2) / n = 5 / 4
İçler dışlar çarpımı yapalım: 4n + 8 = 5n => n = 8 bulunur.
17. 1! + 2! + 3! + … + 45! toplamının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap: B
4! = 24 olduğundan, 4! ve sonrasındaki tüm terimler 24’e tam bölünür ve kalan sıfırdır.
Kalanı bulmak için ilk 3 terimi toplarız:
1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9.
9 sayısı 24’ten küçük olduğu için direkt kalandır.
4! = 24 olduğundan, 4! ve sonrasındaki tüm terimler 24’e tam bölünür ve kalan sıfırdır.
Kalanı bulmak için ilk 3 terimi toplarız:
1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9.
9 sayısı 24’ten küçük olduğu için direkt kalandır.
18. a ve b pozitif tam sayılardır. a! / b! = 6 olduğuna göre, b’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Cevap: B
a! = 6 * b! şartını inceleyelim:
1) b = 5 ise a = 6 olur. (6! / 5! = 6)
2) 6 sayısı aynı zamanda 3! değerine eşittir (3*2*1=6). b = 1 olursa a = 3 olur. (3! / 1! = 6)
b’nin alabileceği pozitif değerler: 5 ve 1’dir. Toplamları: 5 + 1 = 6 bulunur.
a! = 6 * b! şartını inceleyelim:
1) b = 5 ise a = 6 olur. (6! / 5! = 6)
2) 6 sayısı aynı zamanda 3! değerine eşittir (3*2*1=6). b = 1 olursa a = 3 olur. (3! / 1! = 6)
b’nin alabileceği pozitif değerler: 5 ve 1’dir. Toplamları: 5 + 1 = 6 bulunur.
19. a = 6! * 7! , b = 5! * 8! , c = 4! * 9! sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
İfadeleri birbirine benzeterek kıyaslayalım:
a = 6! * 7!
b = 5! * 8! = (6! / 6) * (7! * 8) = a * (8 / 6) = a * 1.33
c = 4! * 9! = (5! / 5) * (8! * 9) = b * (9 / 5) = b * 1.8
Bu duruma göre çarpan katsayıları büyüdüğü için en küçük a, sonra b, en büyük ise c olur: a < b < c.
İfadeleri birbirine benzeterek kıyaslayalım:
a = 6! * 7!
b = 5! * 8! = (6! / 6) * (7! * 8) = a * (8 / 6) = a * 1.33
c = 4! * 9! = (5! / 5) * (8! * 9) = b * (9 / 5) = b * 1.8
Bu duruma göre çarpan katsayıları büyüdüğü için en küçük a, sonra b, en büyük ise c olur: a < b < c.
20. x bir doğal sayıdır. (x – 3)! = 1 olduğuna göre, x’in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevap: D
Sonucu 1 olan iki farklı faktöriyel durumu vardır:
0! = 1 ve 1! = 1.
Durum 1: x – 3 = 0 => x = 3
Durum 2: x – 3 = 1 => x = 4
x’in alabileceği değerlerin toplamı: 3 + 4 = 7 bulunur.
Sonucu 1 olan iki farklı faktöriyel durumu vardır:
0! = 1 ve 1! = 1.
Durum 1: x – 3 = 0 => x = 3
Durum 2: x – 3 = 1 => x = 4
x’in alabileceği değerlerin toplamı: 3 + 4 = 7 bulunur.
Yorum gönder