6. EBOB – EKOK
KPSS Matematik: EBOB ve EKOK Testi – 2
1. a ve b ardışık iki pozitif tam sayı olmak üzere, EBOB(a, b) + EKOK(a, b) = 157 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Cevap: B
Ardışık tam sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u ise sayıların çarpımına eşittir.
EBOB(a, b) = 1 ve EKOK(a, b) = a * b
1 + a * b = 157 => a * b = 156 olur.
Çarpımları 156 olan ardışık iki sayı 12 ve 13’tür (12 * 13 = 156).
Toplamları: a + b = 12 + 13 = 25 bulunur.
Ardışık tam sayılar aralarında asaldır. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u ise sayıların çarpımına eşittir.
EBOB(a, b) = 1 ve EKOK(a, b) = a * b
1 + a * b = 157 => a * b = 156 olur.
Çarpımları 156 olan ardışık iki sayı 12 ve 13’tür (12 * 13 = 156).
Toplamları: a + b = 12 + 13 = 25 bulunur.
2. EBOB(x, y) = 5 ve EKOK(x, y) = 150 olan iki basamaklı x ve y doğal sayılarının toplamı en çok kaçtır?
Cevap: C
x = 5m ve y = 5n yazalım (m ve n aralarında asal).
EKOK(x, y) = 5 * m * n = 150 => m * n = 30 olur.
Çarpımları 30 olan aralarında asal m ve n çiftleri: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
Sayıların iki basamaklı olması istendiği için (5, 6) çiftini seçeriz.
m = 5 için x = 5 * 5 = 25
n = 6 için y = 5 * 6 = 30
Ancak en çok istendiği için diğer aralarında asal iki basamaklı sınırları zorlayan çiftleri deneyelim: (3, 10) alınırsa; m=3 için x=15, n=10 için y=50 (Toplam 65). (2, 15) alınırsa; n=15 için y=75 (iki basamaklı), m=2 için x=10. Toplam: 10 + 75 = 85. (1, 30) alınırsa y üç basamaklı olur.
En büyük kombinasyon: x=50, y=75 elde edilebilir mi? m*n=30 için m=5, n=6 dedik. m=3, n=10 için y=50 oldu. m=2, n=15 için y=75, x=10 oldu. m=1, n=30 için y=150 (3 basamaklı). Başka çarpan: m=5, n=6 demiştik. İki basamaklı x ve y toplamı en çok 25+30=55 mi? Hayır. m=3, n=10 alınırsa x=15, y=50. m=2, n=15 alınırsa x=10, y=75 olur. Şıklara uygun en büyük iki basamaklı değerleri veren kombinasyon x=50, y=75 olsaydı m=10, n=15 olurdu ama aralarında asal değiller. Doğru çarpan analiziyle: x=75, y=50 seçilebilir mi? 75 ve 50’nin EBOB’u 25’tir (şartı bozuyor). EBOB’u 5 olan ve EKOK’u 150 olan en büyük iki sayı 25 ve 150’dir (biri 3 basamaklı). İki basamaklılar içinde en büyük toplam: x=75 ve y=10 (EBOB=5, EKOK=150). Toplam: 85. Şıklarda revize ile en uygun kombinasyon x=25, y=30 toplamı değil, x=75, y=100 (3 basamaklı). İki basamaklı en büyük toplam 75 + 10 = 85’tir. Şıklarda 85 varsayılarak soru çözülür.
x = 5m ve y = 5n yazalım (m ve n aralarında asal).
EKOK(x, y) = 5 * m * n = 150 => m * n = 30 olur.
Çarpımları 30 olan aralarında asal m ve n çiftleri: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
Sayıların iki basamaklı olması istendiği için (5, 6) çiftini seçeriz.
m = 5 için x = 5 * 5 = 25
n = 6 için y = 5 * 6 = 30
Ancak en çok istendiği için diğer aralarında asal iki basamaklı sınırları zorlayan çiftleri deneyelim: (3, 10) alınırsa; m=3 için x=15, n=10 için y=50 (Toplam 65). (2, 15) alınırsa; n=15 için y=75 (iki basamaklı), m=2 için x=10. Toplam: 10 + 75 = 85. (1, 30) alınırsa y üç basamaklı olur.
En büyük kombinasyon: x=50, y=75 elde edilebilir mi? m*n=30 için m=5, n=6 dedik. m=3, n=10 için y=50 oldu. m=2, n=15 için y=75, x=10 oldu. m=1, n=30 için y=150 (3 basamaklı). Başka çarpan: m=5, n=6 demiştik. İki basamaklı x ve y toplamı en çok 25+30=55 mi? Hayır. m=3, n=10 alınırsa x=15, y=50. m=2, n=15 alınırsa x=10, y=75 olur. Şıklara uygun en büyük iki basamaklı değerleri veren kombinasyon x=50, y=75 olsaydı m=10, n=15 olurdu ama aralarında asal değiller. Doğru çarpan analiziyle: x=75, y=50 seçilebilir mi? 75 ve 50’nin EBOB’u 25’tir (şartı bozuyor). EBOB’u 5 olan ve EKOK’u 150 olan en büyük iki sayı 25 ve 150’dir (biri 3 basamaklı). İki basamaklılar içinde en büyük toplam: x=75 ve y=10 (EBOB=5, EKOK=150). Toplam: 85. Şıklarda revize ile en uygun kombinasyon x=25, y=30 toplamı değil, x=75, y=100 (3 basamaklı). İki basamaklı en büyük toplam 75 + 10 = 85’tir. Şıklarda 85 varsayılarak soru çözülür.
3. A, B, C pozitif tam sayılardır. k = 6A + 4 = 8B + 6 = 10C + 8 olduğuna göre, k’nin alabileceği 3 basamaklı en küçük değer kaçtır?
Cevap: B
Her bir ifadedeki bölen ile kalan arasındaki farka bakalım: 6-4=2, 8-6=2, 10-8=2.
Eşitliğin her tarafına 2 ekleyelim:
k + 2 = 6A + 6 = 8B + 8 = 10C + 10
k + 2 = 6(A+1) = 8(B+1) = 10(C+1)
Demek ki k + 2 sayısı 6, 8 ve 10 sayılarının ortak katıdır.
EKOK(6, 8, 10) = 120’dir.
k + 2 = 120 => k = 118 bulunur.
Her bir ifadedeki bölen ile kalan arasındaki farka bakalım: 6-4=2, 8-6=2, 10-8=2.
Eşitliğin her tarafına 2 ekleyelim:
k + 2 = 6A + 6 = 8B + 8 = 10C + 10
k + 2 = 6(A+1) = 8(B+1) = 10(C+1)
Demek ki k + 2 sayısı 6, 8 ve 10 sayılarının ortak katıdır.
EKOK(6, 8, 10) = 120’dir.
k + 2 = 120 => k = 118 bulunur.
4. Boyutları 180 cm ve 240 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir salonun tabanı, hiç boşluk kalmayacak şekilde eşit alanlı en büyük boyutlu kare fayanslarla kaplanacaktır. Bu iş için kaç fayans gereklidir?
Cevap: A
Fayansların kare olması ve en büyük boyutlu olması istendiği için kenar uzunluğu EBOB(180, 240) olmalıdır.
EBOB(180, 240) = 60 cm (Bir kare fayansın kenarı).
Gerekli Fayans Sayısı = (Salonun Alanı) / (Fayansın Alanı)
Fayans Sayısı = (180 * 240) / (60 * 60) = 3 * 4 = 12 değil, formül hesabı: 180/60 = 3, 240/60 = 4. Çarpımları: 3 * 4 = 12 adet fayans gerekir. (Cevap C)
Fayansların kare olması ve en büyük boyutlu olması istendiği için kenar uzunluğu EBOB(180, 240) olmalıdır.
EBOB(180, 240) = 60 cm (Bir kare fayansın kenarı).
Gerekli Fayans Sayısı = (Salonun Alanı) / (Fayansın Alanı)
Fayans Sayısı = (180 * 240) / (60 * 60) = 3 * 4 = 12 değil, formül hesabı: 180/60 = 3, 240/60 = 4. Çarpımları: 3 * 4 = 12 adet fayans gerekir. (Cevap C)
5. Bir sepetteki güller 6’şar ve 8’er sayıldığında her seferinde 5 gül eksik kalıyor. Sepetteki gül sayısı 200’den fazla olduğuna göre en az kaç gül vardır?
Cevap: C
Gül sayısına G diyelim. G = 6x – 5 = 8y – 5 şeklinde ifade edilir.
Her tarafa 5 eklersek: G + 5 = 6x = 8y olur.
G + 5 sayısı 6 ve 8’in ortak katı olmalıdır. EKOK(6, 8) = 24’tür.
Gül sayısı 200’den fazla dendiği için 24’ün katlarını alırız: 24 * 10 = 240.
G + 5 = 240 => G = 235 bulunur.
Gül sayısına G diyelim. G = 6x – 5 = 8y – 5 şeklinde ifade edilir.
Her tarafa 5 eklersek: G + 5 = 6x = 8y olur.
G + 5 sayısı 6 ve 8’in ortak katı olmalıdır. EKOK(6, 8) = 24’tür.
Gül sayısı 200’den fazla dendiği için 24’ün katlarını alırız: 24 * 10 = 240.
G + 5 = 240 => G = 235 bulunur.
6. EBOB(A, B) = 1 olmak üzere, A * B = 300 olduğuna göre kaç farklı (A, B) doğal sayı ikilisi vardır?
Cevap: D
EBOB(A, B) = 1 ise A ve B aralarında asaldır. Çarpımları 300 olan aralarında asal çarpan gruplarını bulmalıyız.
300 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 300 = 22 * 31 * 52
Bir sayının aralarında asal iki çarpan biçiminde yazılma sayısı 2n-1 formülüyle bulunur (n: farklı asal çarpan sayısı).
n = 3 (Asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir).
Farklı küme sayısı = 23-1 = 22 = 4 tanedir.
Sıralı ikili (A, B) olarak sorulduğu için yer değiştirmeler de dahil edilir: 4 * 2 = 8 farklı ikili yazılabilir.
EBOB(A, B) = 1 ise A ve B aralarında asaldır. Çarpımları 300 olan aralarında asal çarpan gruplarını bulmalıyız.
300 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 300 = 22 * 31 * 52
Bir sayının aralarında asal iki çarpan biçiminde yazılma sayısı 2n-1 formülüyle bulunur (n: farklı asal çarpan sayısı).
n = 3 (Asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir).
Farklı küme sayısı = 23-1 = 22 = 4 tanedir.
Sıralı ikili (A, B) olarak sorulduğu için yer değiştirmeler de dahil edilir: 4 * 2 = 8 farklı ikili yazılabilir.
7. a, b, c pozitif tam sayılardır. EKOK(a, b) = 40 ve EKOK(b, c) = 60 olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevap: B
Toplamın en küçük olması için ortak olan ‘b’ sayısını olabildiğince büyük ve hem 40’ı hem 60’ı bölen bir sayı seçmeliyiz. EBOB(40, 60) = 20 alalım.
b = 20 için:
EKOK(a, 20) = 40 => a en az 8 olmalıdır (8 ve 20’nin EKOK’u 40’tır).
EKOK(20, c) = 60 => c en az 3 olmalıdır (20 ve 3’ün EKOK’u 60’tır).
a + b + c = 8 + 20 + 3 = 31 bulunur. (C seçeneği).
Toplamın en küçük olması için ortak olan ‘b’ sayısını olabildiğince büyük ve hem 40’ı hem 60’ı bölen bir sayı seçmeliyiz. EBOB(40, 60) = 20 alalım.
b = 20 için:
EKOK(a, 20) = 40 => a en az 8 olmalıdır (8 ve 20’nin EKOK’u 40’tır).
EKOK(20, c) = 60 => c en az 3 olmalıdır (20 ve 3’ün EKOK’u 60’tır).
a + b + c = 8 + 20 + 3 = 31 bulunur. (C seçeneği).
8. Boyutları 6 cm, 9 cm und 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutular yan yana ve üst üste dizilerek içi dolu en küçük hacimli bir küp yapılacaktır. Toplam kaç kutu gereklidir?
Cevap: E
Küpün bir ayrıtı kenarların ortak katı olmalıdır. EKOK(6, 9, 12) = 36 cm.
Kutu Sayısı = (Küpün Hacmi) / (Kutunun Hacmi)
Kutu Sayısı = (36 * 36 * 36) / (6 * 9 * 12) = 6 * 4 * 3 = 72 adet. (Pardon, sadeleştirme hatası yapmayalım: 36/6=6, 36/9=4, 36/12=3. 6 * 4 * 3 = 72 yapar. Şıklarda 72 B seçeneğidir).
Küpün bir ayrıtı kenarların ortak katı olmalıdır. EKOK(6, 9, 12) = 36 cm.
Kutu Sayısı = (Küpün Hacmi) / (Kutunun Hacmi)
Kutu Sayısı = (36 * 36 * 36) / (6 * 9 * 12) = 6 * 4 * 3 = 72 adet. (Pardon, sadeleştirme hatası yapmayalım: 36/6=6, 36/9=4, 36/12=3. 6 * 4 * 3 = 72 yapar. Şıklarda 72 B seçeneğidir).
9. Üç basamaklı 12, 15 ve 18 sayılarına tam bölünebilen en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
Cevap: C
Sayı her üçüne de tam bölünüyorsa ortak katları olmalıdır. EKOK(12, 15, 18) değerini bulalım.
EKOK(12, 15, 18) = 180’dir.
180 zaten üç basamaklı en küçük ortak kattır. Rakamları toplamı: 1 + 8 + 0 = 9 olur.
Sayı her üçüne de tam bölünüyorsa ortak katları olmalıdır. EKOK(12, 15, 18) değerini bulalım.
EKOK(12, 15, 18) = 180’dir.
180 zaten üç basamaklı en küçük ortak kattır. Rakamları toplamı: 1 + 8 + 0 = 9 olur.
10. 45 Litre zeytinyağı, 60 Litre mısırözü yağı ve 75 Litre ayçiçek yağı birbirine karıştırılmadan eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. En az kaç şişeye ihtiyaç vardır?
Cevap: B
Şişe sayısının en az olması için bir şişenin hacmi en büyük seçilmelidir. Bütünden parçaya gidildiği için EBOB bulunur.
EBOB(45, 60, 75) = 15 Litre (Bir şişenin maksimum hacmi).
Şişe Sayısı = 45/15 + 60/15 + 75/15 = 3 + 4 + 5 = 12 adet şişe gerekir.
Şişe sayısının en az olması için bir şişenin hacmi en büyük seçilmelidir. Bütünden parçaya gidildiği için EBOB bulunur.
EBOB(45, 60, 75) = 15 Litre (Bir şişenin maksimum hacmi).
Şişe Sayısı = 45/15 + 60/15 + 75/15 = 3 + 4 + 5 = 12 adet şişe gerekir.
11. EKOK(x, y) = 180 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük değer (x ≠ y) kaçtır?
Cevap: B
Sayılar birbirinden farklı ve toplam en büyük isteniyorsa; sayılardan birini EKOK’un kendisine (180), diğerini ise EKOK’un en büyük tam bölenine (180 / 2 = 90) eşit seçeriz.
x = 180 ve y = 90 olur.
Toplam: 180 + 90 = 270 bulunur.
Sayılar birbirinden farklı ve toplam en büyük isteniyorsa; sayılardan birini EKOK’un kendisine (180), diğerini ise EKOK’un en büyük tam bölenine (180 / 2 = 90) eşit seçeriz.
x = 180 ve y = 90 olur.
Toplam: 180 + 90 = 270 bulunur.
12. EBOB(A, B) = 8 ve A + B = 96 olduğuna göre kaç farklı (A, B) pozitif tam sayı çifti vardır?
Cevap: C
A = 8m ve B = 8n (m ve n aralarında asal) yazabiliriz.
8m + 8n = 96 => 8(m + n) = 96 => m + n = 12 olur.
Toplamları 12 olan ve aralarında asal olan pozitif tam sayı çiftleri:
(1, 11), (5, 7) ve bunların yer değiştirmiş halleri olan (11, 1), (7, 5).
Toplamda 4 farklı (A, B) çifti elde edilir.
A = 8m ve B = 8n (m ve n aralarında asal) yazabiliriz.
8m + 8n = 96 => 8(m + n) = 96 => m + n = 12 olur.
Toplamları 12 olan ve aralarında asal olan pozitif tam sayı çiftleri:
(1, 11), (5, 7) ve bunların yer değiştirmiş halleri olan (11, 1), (7, 5).
Toplamda 4 farklı (A, B) çifti elde edilir.
13. Aralarında asal iki sayının EKOK’u 210’dur. Bu sayılardan biri 14 olduğuna göre diğeri kaçtır?
Cevap: A
Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK değerine eşittir.
x * 14 = 210 => x = 210 / 14 = 15 bulunur. (15 ve 14 ardışık olduğu için zaten aralarında asaldır).
Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK değerine eşittir.
x * 14 = 210 => x = 210 / 14 = 15 bulunur. (15 ve 14 ardışık olduğu için zaten aralarında asaldır).
14. Üç farklı radyo istasyonu sırasıyla 45, 60 ve 90 dakikada bir reklam girmektedir. Üçü birlikte ilk reklamı yaptıktan en az kaç saat sonra tekrar birlikte reklam yaparlar?
Cevap: B
Geçen süre dakikaların ortak katı olmalıdır. EKOK(45, 60, 90) = 180 dakika.
Soruda saat cinsinden istendiği için: 180 / 60 = 3 saat bulunur.
Geçen süre dakikaların ortak katı olmalıdır. EKOK(45, 60, 90) = 180 dakika.
Soruda saat cinsinden istendiği için: 180 / 60 = 3 saat bulunur.
15. A = 24 * 32 * 5 ve B = 22 * 33 * 7 olduğuna göre EKOK(A, B) / EBOB(A, B) oranı kaçtır?
Cevap: D
EBOB için ortak asallardan üssü küçük olanlar alınır: 22 * 32
EKOK için tüm asallardan üssü büyük olanlar alınır: 24 * 33 * 5 * 7
Oranlarsak: (24 * 33 * 5 * 7) / (22 * 32) = 22 * 31 * 5 * 7 = 4 * 3 * 5 * 7 = 420 bulunur.
EBOB için ortak asallardan üssü küçük olanlar alınır: 22 * 32
EKOK için tüm asallardan üssü büyük olanlar alınır: 24 * 33 * 5 * 7
Oranlarsak: (24 * 33 * 5 * 7) / (22 * 32) = 22 * 31 * 5 * 7 = 4 * 3 * 5 * 7 = 420 bulunur.
16. EBOB’ları 12 ve EKOK’ları 360 olan iki pozitif tam sayının toplamı en az kaçtır?
Cevap: B
x = 12m, y = 12n (m, n aralarında asal).
EKOK = 12 * m * n = 360 => m * n = 30 olur.
Toplamın en az olması için m ve n sayıları birbirine en yakın seçilmelidir. 5 ve 6 aralarında asaldır ve en yakındır.
x = 12 * 5 = 60
y = 12 * 6 = 72
Toplam: 60 + 72 = 132 bulunur.
x = 12m, y = 12n (m, n aralarında asal).
EKOK = 12 * m * n = 360 => m * n = 30 olur.
Toplamın en az olması için m ve n sayıları birbirine en yakın seçilmelidir. 5 ve 6 aralarında asaldır ve en yakındır.
x = 12 * 5 = 60
y = 12 * 6 = 72
Toplam: 60 + 72 = 132 bulunur.
17. Dairesel bir pisti üç koşucu sırasıyla 40, 50 ve 60 saniyede tamamlamaktadır. Aynı anda aynı noktadan yarışa başlayan koşucular, ikinci kez başlangıç noktasında yan yana geldiklerinde en hızlı koşucu kaç tur atmış olur?
Cevap: D
Birlikte ilk kez buluşma süreleri: EKOK(40, 50, 60) = 600 saniyedir.
İkinci kez yan yana gelmeleri için geçen toplam süre: 600 * 2 = 1200 saniye olur.
En hızlı koşucu turunu en kısa sürede (40 saniyede) tamamlayandır.
Tur sayısı = 1200 / 40 = 30 tur bulunur.
Birlikte ilk kez buluşma süreleri: EKOK(40, 50, 60) = 600 saniyedir.
İkinci kez yan yana gelmeleri için geçen toplam süre: 600 * 2 = 1200 saniye olur.
En hızlı koşucu turunu en kısa sürede (40 saniyede) tamamlayandır.
Tur sayısı = 1200 / 40 = 30 tur bulunur.
18. Bir merdivenin basamaklarını 3’er 3’er ve 4’er 4’er çıkan bir kişinin her seferinde 1 basamağı artıyor. Merdiven basamak sayısının 50’den fazla olduğu bilindiğine göre en az kaç basamaklıdır?
Cevap: B
Basamak sayısına B dersek; B – 1 sayısı 3 ve 4’ün ortak katı olmalıdır. EKOK(3, 4) = 12.
Basamak sayısı 50’den fazla ise 12’nin katlarını inceleriz: 12 * 5 = 60 değil, sınır değeri bulalım. 12*4=48, bir sonraki katı 12*5=60.
B – 1 = 60 => B = 61 değil, durun! 12’nin katı 48 alınırsa 48+1=49 (50’den küçük). 12’nin katı 60 alınırsa B-1=60 ise B=61 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.
Basamak sayısına B dersek; B – 1 sayısı 3 ve 4’ün ortak katı olmalıdır. EKOK(3, 4) = 12.
Basamak sayısı 50’den fazla ise 12’nin katlarını inceleriz: 12 * 5 = 60 değil, sınır değeri bulalım. 12*4=48, bir sonraki katı 12*5=60.
B – 1 = 60 => B = 61 değil, durun! 12’nin katı 48 alınırsa 48+1=49 (50’den küçük). 12’nin katı 60 alınırsa B-1=60 ise B=61 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.
19. EBOB(a, b) = 5 ve a/b = 3/7 olduğuna göre, EKOK(a, b) kaçtır?
Cevap: C
a/b = 3/7 oranı verilmiş ve EBOB’ları 5 ise; bu sayılar doğrudan 5 ile genişletilir.
a = 3 * 5 = 15
b = 7 * 5 = 35 olur.
EKOK(15, 35) = 5 * 3 * 7 = 105 bulunur.
a/b = 3/7 oranı verilmiş ve EBOB’ları 5 ise; bu sayılar doğrudan 5 ile genişletilir.
a = 3 * 5 = 15
b = 7 * 5 = 35 olur.
EKOK(15, 35) = 5 * 3 * 7 = 105 bulunur.
20. İki pozitif tam sayının EBOB’u 1’dir. Bu sayıların ekokları 120 olduğuna göre bu sayıların toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: C
EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır. Çarpımları 120 olan aralarında asal çiftlerin toplamlarına bakalım:
1 ve 120 => Toplam: 121 (E elendi)
3 ve 40 => Toplam: 43 (C elendi)
5 ve 24 => Toplam: 29 (B elendi)
8 ve 15 => Toplam: 23 (A elendi)
Seçeneklerdeki 61 değeri elde edilemez.
EBOB 1 ise sayılar aralarında asaldır. Çarpımları 120 olan aralarında asal çiftlerin toplamlarına bakalım:
1 ve 120 => Toplam: 121 (E elendi)
3 ve 40 => Toplam: 43 (C elendi)
5 ve 24 => Toplam: 29 (B elendi)
8 ve 15 => Toplam: 23 (A elendi)
Seçeneklerdeki 61 değeri elde edilemez.
Yorum gönder