7. Rasyonel Sayılar
KPSS Matematik: Rasyonel Sayılar Testi
1. (1 – 1/2) · (1 – 1/3) · (1 – 1/4) · … · (1 – 1/20) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Parantez içindeki çıkarma işlemlerini yapalım:
(1/2) · (2/3) · (3/4) · (4/5) · … · (19/20)
Bu çarpma işleminde ardışık pay ve paydalar birbirini sadeleştirir (2’ler, 3’ler, 4’ler… ve en son 19’lar gider).
Geriye pay kısmında 1, payda kısmında ise 20 kalır. Sonuç: 1/20’dir.
Parantez içindeki çıkarma işlemlerini yapalım:
(1/2) · (2/3) · (3/4) · (4/5) · … · (19/20)
Bu çarpma işleminde ardışık pay ve paydalar birbirini sadeleştirir (2’ler, 3’ler, 4’ler… ve en son 19’lar gider).
Geriye pay kısmında 1, payda kısmında ise 20 kalır. Sonuç: 1/20’dir.
2. [ (2/3) + (1/2) ] / [ (3/4) – (1/3) ] işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Önce pay ve paydadaki rasyonel işlemleri payda eşitleyerek yapalım:
Pay: (2/3) + (1/2) = (4/6) + (3/6) = 7/6
Payda: (3/4) – (1/3) = (9/12) – (4/12) = 5/12
Bölme kuralına göre birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır:
(7/6) · (12/5) = (7 · 2) / 5 = 14/5 bulunur.
Önce pay ve paydadaki rasyonel işlemleri payda eşitleyerek yapalım:
Pay: (2/3) + (1/2) = (4/6) + (3/6) = 7/6
Payda: (3/4) – (1/3) = (9/12) – (4/12) = 5/12
Bölme kuralına göre birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır:
(7/6) · (12/5) = (7 · 2) / 5 = 14/5 bulunur.
3. (0,4 / 0,04) + (0,22 / 0,0022) – (0,1 / 0,01) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Ondalık kesirlerde bölme yaparken virgülden sonraki basamak sayılarını eşitlemek için sıfır ekleyebiliriz:
0,4 / 0,04 = 0,40 / 0,04 = 40 / 4 = 10
0,22 / 0,0022 = 0,2200 / 0,0022 = 2200 / 22 = 100
0,1 / 0,01 = 0,10 / 0,01 = 10 / 1 = 10
İşlemi toparlayalım: 10 + 100 – 10 = 100 bulunur.
Ondalık kesirlerde bölme yaparken virgülden sonraki basamak sayılarını eşitlemek için sıfır ekleyebiliriz:
0,4 / 0,04 = 0,40 / 0,04 = 40 / 4 = 10
0,22 / 0,0022 = 0,2200 / 0,0022 = 2200 / 22 = 100
0,1 / 0,01 = 0,10 / 0,01 = 10 / 1 = 10
İşlemi toparlayalım: 10 + 100 – 10 = 100 bulunur.
4. x = 0,333… ve y = 0,666… devirli ondalık sayıları için (1/x) + (1/y) toplamı kaçtır?
Cevap: D
Devirli sayıları rasyonel kesre çevirelim:
x = 0,333… = 3/9 = 1/3
y = 0,666… = 6/9 = 2/3
Bizden istenen (1/x) + (1/y) ifadesi bu sayıların ters çevrilmesidir:
1/x = 3 ve 1/y = 3/2
Toplam: 3 + 3/2 = (6 + 3) / 2 = 9/2 bulunur.
Devirli sayıları rasyonel kesre çevirelim:
x = 0,333… = 3/9 = 1/3
y = 0,666… = 6/9 = 2/3
Bizden istenen (1/x) + (1/y) ifadesi bu sayıların ters çevrilmesidir:
1/x = 3 ve 1/y = 3/2
Toplam: 3 + 3/2 = (6 + 3) / 2 = 9/2 bulunur.
5. a = 10/11 , b = 100/101 , c = 1000/1001 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Verilen kesirlerin tamamı pozitif basit kesirdir ve her birinin payı ile paydası arasındaki fark eşit ve 1’dir (11-10=1, 101-100=1 vb.).
Kural: Pay ile paydası arasındaki farkı eşit olan pozitif basit kesirlerde, rakamsal değerleri büyük olan kesir her zaman daha büyüktür.
Bu nedenle sıralama: a < b < c şeklindedir.
Verilen kesirlerin tamamı pozitif basit kesirdir ve her birinin payı ile paydası arasındaki fark eşit ve 1’dir (11-10=1, 101-100=1 vb.).
Kural: Pay ile paydası arasındaki farkı eşit olan pozitif basit kesirlerde, rakamsal değerleri büyük olan kesir her zaman daha büyüktür.
Bu nedenle sıralama: a < b < c şeklindedir.
6. Bir sürahinin 2/7’si su ile doludur. Sürahiye 150 ml daha su eklendiğinde sürahinin yarısı dolduğuna göre, bu sürahi toplam kaç ml su alır?
Cevap: C
Sürahinin tamamına x diyelim.
İlk durum: 2x/7 dolu.
Yeni durum: 2x/7 + 150 = x/2 (yarısı).
Denklemi düzenleyelim: x/2 – 2x/7 = 150
Paydaları 14’te eşitleyelim (7 ve 2 ile genişleterek):
7x/14 – 4x/14 = 150 => 3x/14 = 150
3x = 150 · 14 => x = 50 · 14 = 700 ml bulunur.
Sürahinin tamamına x diyelim.
İlk durum: 2x/7 dolu.
Yeni durum: 2x/7 + 150 = x/2 (yarısı).
Denklemi düzenleyelim: x/2 – 2x/7 = 150
Paydaları 14’te eşitleyelim (7 ve 2 ile genişleterek):
7x/14 – 4x/14 = 150 => 3x/14 = 150
3x = 150 · 14 => x = 50 · 14 = 700 ml bulunur.
7. 2 – { 1 / [ 2 – (1/2) ] } işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
Merdivenli kesirlerde en alttan başlanır:
En alt payda: 2 – 1/2 = 3/2
Üstündeki bölme: 1 / (3/2) = 2/3
Şimdi ana işlemi yazalım: 2 – 2/3
Sonuç: (2 · 3 – 2) / 3 = 4/3 bulunur.
Merdivenli kesirlerde en alttan başlanır:
En alt payda: 2 – 1/2 = 3/2
Üstündeki bölme: 1 / (3/2) = 2/3
Şimdi ana işlemi yazalım: 2 – 2/3
Sonuç: (2 · 3 – 2) / 3 = 4/3 bulunur.
8. a = -3/5 , b = -3/7 , c = -3/4 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Sayıları önce pozitifmiş gibi düşünelim: 3/5, 3/7, 3/4.
Payları eşit olan pozitif kesirlerde, paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Yani: 3/4 > 3/5 > 3/7 (c > a > b).
Ancak sayılar negatif olduğu için eşitsizlik yön değiştirir:
c < a < b bulunur.
Sayıları önce pozitifmiş gibi düşünelim: 3/5, 3/7, 3/4.
Payları eşit olan pozitif kesirlerde, paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Yani: 3/4 > 3/5 > 3/7 (c > a > b).
Ancak sayılar negatif olduğu için eşitsizlik yön değiştirir:
c < a < b bulunur.
9. (2026 tam 1/2) – (2025 tam 1/2) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Tam sayılı kesirleri tam ve kesirli kısımlarına ayırarak yazabiliriz:
(2026 + 1/2) – (2025 + 1/2)
Eksiyi paranteze dağıtalım:
2026 + 1/2 – 2025 – 1/2
+1/2 ve -1/2 birbirini götürür.
Geriye: 2026 – 2025 = 1 kalır.
Tam sayılı kesirleri tam ve kesirli kısımlarına ayırarak yazabiliriz:
(2026 + 1/2) – (2025 + 1/2)
Eksiyi paranteze dağıtalım:
2026 + 1/2 – 2025 – 1/2
+1/2 ve -1/2 birbirini götürür.
Geriye: 2026 – 2025 = 1 kalır.
10. (0,6 + 0,06 + 0,006 + …) / 0,2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Pay kısmındaki sonsuz toplamı alt alta yazıp toplarsak devirli bir sayı elde ederiz:
0,6 + 0,06 + 0,006 + … = 0,666… = 0,6 (6 devrediyor).
Rasyonele çevirelim: 6/9 = 2/3.
Payda kısmı ise: 0,2 = 2/10 = 1/5’tir.
Bölme işlemini yapalım: (2/3) / (1/5) = (2/3) · 5 = 10/3 bulunur.
Pay kısmındaki sonsuz toplamı alt alta yazıp toplarsak devirli bir sayı elde ederiz:
0,6 + 0,06 + 0,006 + … = 0,666… = 0,6 (6 devrediyor).
Rasyonele çevirelim: 6/9 = 2/3.
Payda kısmı ise: 0,2 = 2/10 = 1/5’tir.
Bölme işlemini yapalım: (2/3) / (1/5) = (2/3) · 5 = 10/3 bulunur.
11. Payı paydasından 5 eksik olan bir kesrin payına 1 eklenir, paydasından 1 çıkarılırsa kesrin değeri 2/3 olmaktadır. Bu kesrin ilk halinin pay ve payda toplamı kaçtır?
Cevap: B
Kesrin paydasına x dersek, payı x – 5 olur. Kesir: (x – 5) / x
Paya 1 ekleyip paydadan 1 çıkaralım: (x – 5 + 1) / (x – 1) = (x – 4) / (x – 1)
Bu ifade 2/3’e eşitmiş:
(x – 4) / (x – 1) = 2/3
İçler dışlar çarpımı yapalım: 3x – 12 = 2x – 2 => x = 10 bulunur.
İlk kesrin paydası 10, payı ise 10 – 5 = 5’tir. Toplamları: 10 + 5 = 15 olur.
Kesrin paydasına x dersek, payı x – 5 olur. Kesir: (x – 5) / x
Paya 1 ekleyip paydadan 1 çıkaralım: (x – 5 + 1) / (x – 1) = (x – 4) / (x – 1)
Bu ifade 2/3’e eşitmiş:
(x – 4) / (x – 1) = 2/3
İçler dışlar çarpımı yapalım: 3x – 12 = 2x – 2 => x = 10 bulunur.
İlk kesrin paydası 10, payı ise 10 – 5 = 5’tir. Toplamları: 10 + 5 = 15 olur.
12. [ 1 – (1/3)2 ] / [ 1 + (1/3) ] işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Pay kısmındaki ifadeyi açalım veya iki kare farkı (1 – 1/3)·(1 + 1/3) olarak düşünelim:
[ (1 – 1/3) · (1 + 1/3) ] / [ 1 + (1/3) ]
Pay ve paydadaki [1 + (1/3)] çarpanları birbirini sadeleştirir.
Geriye sadece (1 – 1/3) kalır. Sonuç: 2/3’tür.
Pay kısmındaki ifadeyi açalım veya iki kare farkı (1 – 1/3)·(1 + 1/3) olarak düşünelim:
[ (1 – 1/3) · (1 + 1/3) ] / [ 1 + (1/3) ]
Pay ve paydadaki [1 + (1/3)] çarpanları birbirini sadeleştirir.
Geriye sadece (1 – 1/3) kalır. Sonuç: 2/3’tür.
13. 3 / [ 2 – (4 / (x – 3)) ] ifadesini tanımsız yapan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: D
Rasyonel ifadeleri paydayı 0 (sıfır) yapan değerler tanımsız yapar. Bu ifadede iki farklı payda vardır:
1. Payda: x – 3 = 0 => x = 3
2. Ana Payda: 2 – (4 / (x – 3)) = 0 => 2 = 4 / (x – 3) => x – 3 = 2 => x = 5
Tanımsız yapan x değerlerinin toplamı: 3 + 5 = 8 bulunur.
Rasyonel ifadeleri paydayı 0 (sıfır) yapan değerler tanımsız yapar. Bu ifadede iki farklı payda vardır:
1. Payda: x – 3 = 0 => x = 3
2. Ana Payda: 2 – (4 / (x – 3)) = 0 => 2 = 4 / (x – 3) => x – 3 = 2 => x = 5
Tanımsız yapan x değerlerinin toplamı: 3 + 5 = 8 bulunur.
14. (0,004 · 0,06) / 0,0012 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Sayıları bilimsel/üslü gösterime çevirerek çarpmak kolaylık sağlar:
0,004 = 4 · 10-3
0,06 = 6 · 10-2
0,0012 = 12 · 10-4
Pay: 4 · 6 · 10-5 = 24 · 10-5
Bölme: (24 · 10-5) / (12 · 10-4) = 2 · 10-1 = 0,2 bulunur.
Sayıları bilimsel/üslü gösterime çevirerek çarpmak kolaylık sağlar:
0,004 = 4 · 10-3
0,06 = 6 · 10-2
0,0012 = 12 · 10-4
Pay: 4 · 6 · 10-5 = 24 · 10-5
Bölme: (24 · 10-5) / (12 · 10-4) = 2 · 10-1 = 0,2 bulunur.
15. a = 0,2 ve b = 0,5 olmak üzere (a + b) / (a · b) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Değerleri yerlerine koyalım:
Pay: 0,2 + 0,5 = 0,7
Payda: 0,2 · 0,5 = 0,10 = 0,1
İşlem: 0,7 / 0,1 = 7 / 1 = 7 bulunur.
Değerleri yerlerine koyalım:
Pay: 0,2 + 0,5 = 0,7
Payda: 0,2 · 0,5 = 0,10 = 0,1
İşlem: 0,7 / 0,1 = 7 / 1 = 7 bulunur.
16. 1,2666… (yalnızca 6 rakamı devretmektedir) sayısının rasyonel sayı olarak karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Devirli sayıyı rasyonele çevirme formülü: (Sayının Tamamı – Devretmeyen Kısım) / (Devreden kadar 9, Devretmeyen kadar 0)
Sayı: 1,26 (6 devrediyor)
Pay: 126 – 12 = 114
Payda: Virgülden sonra 1 devreden (9), 1 devretmeyen (0) var = 90
Kesir: 114 / 90
Her iki tarafı 6 ile sadeleştirirsek: 114 / 6 = 19 ve 90 / 6 = 15 olur. Cevap: 19/15.
Devirli sayıyı rasyonele çevirme formülü: (Sayının Tamamı – Devretmeyen Kısım) / (Devreden kadar 9, Devretmeyen kadar 0)
Sayı: 1,26 (6 devrediyor)
Pay: 126 – 12 = 114
Payda: Virgülden sonra 1 devreden (9), 1 devretmeyen (0) var = 90
Kesir: 114 / 90
Her iki tarafı 6 ile sadeleştirirsek: 114 / 6 = 19 ve 90 / 6 = 15 olur. Cevap: 19/15.
17. (3 / 0,1) – (0,3 / 0,01) + (0,03 / 0,001) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Her bir bölme işlemini virgülden kurtararak yapalım:
3 / 0,1 = 30 / 1 = 30
0,3 / 0,01 = 30 / 1 = 30
0,03 / 0,001 = 30 / 1 = 30
İşlem sırasına göre: 30 – 30 + 30 = 30 bulunur.
Her bir bölme işlemini virgülden kurtararak yapalım:
3 / 0,1 = 30 / 1 = 30
0,3 / 0,01 = 30 / 1 = 30
0,03 / 0,001 = 30 / 1 = 30
İşlem sırasına göre: 30 – 30 + 30 = 30 bulunur.
18. (1 + 1/2) · (1 + 1/3) · (1 + 1/4) · … · (1 + 1/49) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Parantez içi toplama işlemlerini yapalım:
(3/2) · (4/3) · (5/4) · … · (50/49)
Bu çarpım yapısında sol üstten sağ alta doğru (3’ler, 4’ler, 5’ler… 49’lar) birbirini sadeleştirir.
Geriye pay kısmında 50, payda kısmında ise 2 kalır.
Sonuç: 50 / 2 = 25’tir.
Parantez içi toplama işlemlerini yapalım:
(3/2) · (4/3) · (5/4) · … · (50/49)
Bu çarpım yapısında sol üstten sağ alta doğru (3’ler, 4’ler, 5’ler… 49’lar) birbirini sadeleştirir.
Geriye pay kısmında 50, payda kısmında ise 2 kalır.
Sonuç: 50 / 2 = 25’tir.
19. [ 3 – (1/2) ] / [ 2 + (1/3) ] kesrinin çarpma işlemine göre tersi kaçtır?
Cevap: A
Öncelikle mevcut kesrin değerini hesaplayalım:
Pay: 3 – 1/2 = 5/2
Payda: 2 + 1/3 = 7/3
Kesir: (5/2) / (7/3) = (5/2) · (3/7) = 15/14
Bir kesrin çarpma işlemine göre tersi, o kesrin takla atmış halidir (pay ve paydasının yer değiştirmesidir).
Sonuç: 14/15 olur.
Öncelikle mevcut kesrin değerini hesaplayalım:
Pay: 3 – 1/2 = 5/2
Payda: 2 + 1/3 = 7/3
Kesir: (5/2) / (7/3) = (5/2) · (3/7) = 15/14
Bir kesrin çarpma işlemine göre tersi, o kesrin takla atmış halidir (pay ve paydasının yer değiştirmesidir).
Sonuç: 14/15 olur.
20. a = 13/10 , b = 133/100 , c = 1333/1000 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Kesirleri ondalık sayı biçimine dönüştürerek kıyaslayalım:
a = 1,3 = 1,300
b = 1,33 = 1,330
c = 1,333
Basamak sayılarını eşitlediğimizde virgülden sonraki kısımlar 300, 330 ve 333 şeklinde sıralanır.
Bu duruma göre doğru sıralama: a < b < c şeklindedir.
Kesirleri ondalık sayı biçimine dönüştürerek kıyaslayalım:
a = 1,3 = 1,300
b = 1,33 = 1,330
c = 1,333
Basamak sayılarını eşitlediğimizde virgülden sonraki kısımlar 300, 330 ve 333 şeklinde sıralanır.
Bu duruma göre doğru sıralama: a < b < c şeklindedir.
Yorum gönder