8. Üslü İfadeler
KPSS Matematik: Üslü İfadeler Testi
1. (-2)4 + (-3)3 – 12026 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
Adım adım üslü ifadelerin değerlerini hesaplayalım:
(-2)4 = +16 (Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir)
(-3)3 = -27 (Negatif sayının tek kuvveti negatiftir)
12026 = 1 (1’in tüm kuvvetleri 1’dir)
İşlemi birleştirelim: 16 + (-27) – 1 = 16 – 27 – 1 = -12 bulunur.
Adım adım üslü ifadelerin değerlerini hesaplayalım:
(-2)4 = +16 (Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir)
(-3)3 = -27 (Negatif sayının tek kuvveti negatiftir)
12026 = 1 (1’in tüm kuvvetleri 1’dir)
İşlemi birleştirelim: 16 + (-27) – 1 = 16 – 27 – 1 = -12 bulunur.
2. 2x · 2x+2 = 64 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: B
Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır:
2x + x + 2 = 64
22x + 2 = 26 (64 sayısı 2’nin 6. kuvvetidir)
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
2x + 2 = 6 => 2x = 4 => x = 2 bulunur.
Üslü sayılarda çarpma işleminde tabanlar aynı ise üsler toplanır:
2x + x + 2 = 64
22x + 2 = 26 (64 sayısı 2’nin 6. kuvvetidir)
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:
2x + 2 = 6 => 2x = 4 => x = 2 bulunur.
3. (312 + 312 + 312) / 95 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: C
Pay kısmında 3 tane aynı terimin toplamı var, bunu çarpım olarak yazalım:
312 + 312 + 312 = 3 · 312 = 313
Payda kısmını 3 tabanına çevirelim:
95 = (32)5 = 310
Bölme işlemini yapalım:
313 / 310 = 313 – 10 = 33 = 27 bulunur.
Pay kısmında 3 tane aynı terimin toplamı var, bunu çarpım olarak yazalım:
312 + 312 + 312 = 3 · 312 = 313
Payda kısmını 3 tabanına çevirelim:
95 = (32)5 = 310
Bölme işlemini yapalım:
313 / 310 = 313 – 10 = 33 = 27 bulunur.
4. (1/2)-3 + (1/3)-2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
Negatif üs, kesrin pay ve paydasının yerini değiştirerek pozitif yapılır:
(1/2)-3 = (2/1)3 = 23 = 8
(1/3)-2 = (3/1)2 = 32 = 9
Toplamları: 8 + 9 = 17 olur.
Negatif üs, kesrin pay ve paydasının yerini değiştirerek pozitif yapılır:
(1/2)-3 = (2/1)3 = 23 = 8
(1/3)-2 = (3/1)2 = 32 = 9
Toplamları: 8 + 9 = 17 olur.
5. (2x – 3)5 = (x + 4)5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Üslü denklemlerde üsler eşit ve “tek sayı” ise, tabanlar doğrudan birbirine eşitlenir:
2x – 3 = x + 4
x’leri bir tarafa, sayıları bir tarafa toplayalım:
2x – x = 4 + 3 => x = 7 bulunur.
Üslü denklemlerde üsler eşit ve “tek sayı” ise, tabanlar doğrudan birbirine eşitlenir:
2x – 3 = x + 4
x’leri bir tarafa, sayıları bir tarafa toplayalım:
2x – x = 4 + 3 => x = 7 bulunur.
6. (x – 2)4 = 16 eşitliğini sağlayan x gerçek değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevap: B
Üslü denklemlerde üsler eşit ve “çift sayı” ise, taban diğer ifadenin hem pozitifine hem de negatifine eşit olabilir (Çünkü 24 = 16 ve (-2)4 = 16’dır).
1. Durum: x – 2 = 2 => x = 4
2. Durum: x – 2 = -2 => x = 0
Değerler toplamı: 4 + 0 = 4 bulunur.
Üslü denklemlerde üsler eşit ve “çift sayı” ise, taban diğer ifadenin hem pozitifine hem de negatifine eşit olabilir (Çünkü 24 = 16 ve (-2)4 = 16’dır).
1. Durum: x – 2 = 2 => x = 4
2. Durum: x – 2 = -2 => x = 0
Değerler toplamı: 4 + 0 = 4 bulunur.
7. (210 + 29) / (28 – 27) işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
Pay ve paydayı kendi içlerinde en küçük üssün parantezine alalım:
Pay kısmı: 29 · (21 + 1) = 29 · 3
Payda kısmı: 27 · (21 – 1) = 27 · 1
İfadeyi oranlayalım: (29 · 3) / (27 · 1)
Tabanları aynı olan üslü sayılarda bölme yapılırken üsler çıkarılır:
29 – 7 · 3 = 22 · 3 = 4 · 3 = 12 bulunur.
Pay ve paydayı kendi içlerinde en küçük üssün parantezine alalım:
Pay kısmı: 29 · (21 + 1) = 29 · 3
Payda kısmı: 27 · (21 – 1) = 27 · 1
İfadeyi oranlayalım: (29 · 3) / (27 · 1)
Tabanları aynı olan üslü sayılarda bölme yapılırken üsler çıkarılır:
29 – 7 · 3 = 22 · 3 = 4 · 3 = 12 bulunur.
8. (0,2)3 · 54 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
Ondalık sayıyı rasyonel kesre çevirerek başlayalım:
0,2 = 2/10 = 1/5 = 5-1
Yerine yazalım: (5-1)3 · 54
Üssün üssü çarpılır: 5-3 · 54
Çarpmada üsler toplanır: 5-3 + 4 = 51 = 5 bulunur.
Ondalık sayıyı rasyonel kesre çevirerek başlayalım:
0,2 = 2/10 = 1/5 = 5-1
Yerine yazalım: (5-1)3 · 54
Üssün üssü çarpılır: 5-3 · 54
Çarpmada üsler toplanır: 5-3 + 4 = 51 = 5 bulunur.
9. 46 · 511 sayısı kaç basamaklı bir sayıdır?
Cevap: C
Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için ifadeyi 10’un kuvveti (2 · 5 yapısı) biçimine getirmeliyiz:
46 = (22)6 = 212
İfadeyi düzenleyelim: 212 · 511 = 21 · 211 · 511
Üsler eşitse tabanlar çarpılır: 2 · (2 · 5)11 = 2 · 1011
Bu ifade, 2 rakamının yanına 11 tane sıfır geleceği anlamına gelir. Toplam basamak sayısı: 1 + 11 = 12 basamaklıdır.
Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için ifadeyi 10’un kuvveti (2 · 5 yapısı) biçimine getirmeliyiz:
46 = (22)6 = 212
İfadeyi düzenleyelim: 212 · 511 = 21 · 211 · 511
Üsler eşitse tabanlar çarpılır: 2 · (2 · 5)11 = 2 · 1011
Bu ifade, 2 rakamının yanına 11 tane sıfır geleceği anlamına gelir. Toplam basamak sayısı: 1 + 11 = 12 basamaklıdır.
10. a = 260, b = 345, c = 530 sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Üsleri kıyaslayabilmek için üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım. EBOB(60, 45, 30) = 15’tir. Sayıları ortak üs olan 15’e göre düzenleyelim:
a = 260 = (24)15 = 1615
b = 345 = (33)15 = 2715
c = 530 = (52)15 = 2515
Üsler eşit olduğuna göre tabanı küçük olan daha küçüktür: 16 < 25 < 27 olduğundan sıralama a < c < b şeklindedir.
Üsleri kıyaslayabilmek için üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım. EBOB(60, 45, 30) = 15’tir. Sayıları ortak üs olan 15’e göre düzenleyelim:
a = 260 = (24)15 = 1615
b = 345 = (33)15 = 2715
c = 530 = (52)15 = 2515
Üsler eşit olduğuna göre tabanı küçük olan daha küçüktür: 16 < 25 < 27 olduğundan sıralama a < c < b şeklindedir.
11. 2x = 3 ve 3y = 8 olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
Cevap: B
Birinci denklemde elde edilen 3 değerini ikinci denklemdeki 3 yerine yazalım:
(2x)y = 8
2x · y = 23 (8 sayısı 23‘tür)
Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olur: x · y = 3 bulunur.
Birinci denklemde elde edilen 3 değerini ikinci denklemdeki 3 yerine yazalım:
(2x)y = 8
2x · y = 23 (8 sayısı 23‘tür)
Tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olur: x · y = 3 bulunur.
12. (4/9)x-1 = (27/8)-x+3 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Her iki tarafı da ortak 2/3 tabanına benzetelim:
Sol taraf: (4/9)x-1 = [ (2/3)2 ]x-1 = (2/3)2x-2
Sağ taraf: (27/8) = (3/2)3 = (2/3)-3‘tür. Buradan [ (2/3)-3 ]-x+3 = (2/3)3x-9 olur.
Tabanları eşitlediğimize göre üsleri de eşitleyelim:
2x – 2 = 3x – 9 => 2x – 3x = -9 + 2 => -x = -7 => x = 7 bulunur.
Her iki tarafı da ortak 2/3 tabanına benzetelim:
Sol taraf: (4/9)x-1 = [ (2/3)2 ]x-1 = (2/3)2x-2
Sağ taraf: (27/8) = (3/2)3 = (2/3)-3‘tür. Buradan [ (2/3)-3 ]-x+3 = (2/3)3x-9 olur.
Tabanları eşitlediğimize göre üsleri de eşitleyelim:
2x – 2 = 3x – 9 => 2x – 3x = -9 + 2 => -x = -7 => x = 7 bulunur.
13. (x – 3)x2-9 = 1 eşitliğini sağlayan farklı x gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
Cevap: C
AB = 1 durumunun 3 kuralı vardır:
1) Üs 0 olmalıdır (Taban 0 olamaz): x2 – 9 = 0 => x = 3 veya x = -3. Ancak x=3 tabanı 0 yaptığından (00 tanımsız) sadece x = -3 alınır.
2) Taban 1 olmalıdır: x – 3 = 1 => x = 4.
3) Taban -1 olmalı ve üs çift olmalıdır: x – 3 = -1 => x = 2. x=2 için üs: 22-9 = -5 (tek sayı) olduğundan x=2 şartı sağlamaz.
Sağlayan değerler toplamı: (-3) + 4 = 1 bulunur.
AB = 1 durumunun 3 kuralı vardır:
1) Üs 0 olmalıdır (Taban 0 olamaz): x2 – 9 = 0 => x = 3 veya x = -3. Ancak x=3 tabanı 0 yaptığından (00 tanımsız) sadece x = -3 alınır.
2) Taban 1 olmalıdır: x – 3 = 1 => x = 4.
3) Taban -1 olmalı ve üs çift olmalıdır: x – 3 = -1 => x = 2. x=2 için üs: 22-9 = -5 (tek sayı) olduğundan x=2 şartı sağlamaz.
Sağlayan değerler toplamı: (-3) + 4 = 1 bulunur.
14. a ve b tam sayılardır. 32a-b-4 = 5a+b-5 olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?
Cevap: C
3 ve 5 aralarında asal sayılardır. Tam sayı kuvvetlerinin birbirine eşit olabilmesi ancak üslerin sıfır (0) olması durumunda mümkündür (30 = 50 = 1).
1. Denklem: 2a – b – 4 = 0 => 2a – b = 4
2. Denklem: a + b – 5 = 0 => a + b = 5
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: b’ler sadeleşir, 3a = 9 => a = 3 bulunur.
a + b = 5 denkleminde yerine yazarsak: 3 + b = 5 => b = 2 bulunur.
Çarpımları: a · b = 3 · 2 = 6’dır.
3 ve 5 aralarında asal sayılardır. Tam sayı kuvvetlerinin birbirine eşit olabilmesi ancak üslerin sıfır (0) olması durumunda mümkündür (30 = 50 = 1).
1. Denklem: 2a – b – 4 = 0 => 2a – b = 4
2. Denklem: a + b – 5 = 0 => a + b = 5
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: b’ler sadeleşir, 3a = 9 => a = 3 bulunur.
a + b = 5 denkleminde yerine yazarsak: 3 + b = 5 => b = 2 bulunur.
Çarpımları: a · b = 3 · 2 = 6’dır.
15. Bir bakteri türü her 20 dakikada bir bölünerek ikiye katlanmaktadır. Başlangıçta boş bir kapta 4 adet bakteri olduğuna göre, 2 saatin sonunda kapta kaç bakteri olur?
Cevap: C
Süreyi periyoda bölelim: 2 saat = 120 dakikadır.
Her 20 dakikada bir bölünüyorsa toplamda: 120 / 20 = 6 defa bölünme gerçekleşir.
Başlangıçtaki bakteri sayısı 4 = 22‘dir.
Her bölünmede sayı 2 katına çıkacağı için formül: Başlangıç · 2Periyot
Sonuç: 22 · 26 = 22+6 = 28 bulunur.
Süreyi periyoda bölelim: 2 saat = 120 dakikadır.
Her 20 dakikada bir bölünüyorsa toplamda: 120 / 20 = 6 defa bölünme gerçekleşir.
Başlangıçtaki bakteri sayısı 4 = 22‘dir.
Her bölünmede sayı 2 katına çıkacağı için formül: Başlangıç · 2Periyot
Sonuç: 22 · 26 = 22+6 = 28 bulunur.
16. 16x = 5 olduğuna göre, 24x+2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: C
Öncelikle verilen ifadeyi düzenleyelim: 16x = (24)x = 24x = 5.
Bizden istenen ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
24x+2 = 24x · 22
24x gördüğümüz yere 5 yazalım:
5 · 22 = 5 · 4 = 20 bulunur.
Öncelikle verilen ifadeyi düzenleyelim: 16x = (24)x = 24x = 5.
Bizden istenen ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
24x+2 = 24x · 22
24x gördüğümüz yere 5 yazalım:
5 · 22 = 5 · 4 = 20 bulunur.
17. (6x + 6x + 6x) / (2x + 2x) = 40,5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Pay ve paydayı adetlerine göre çarpım durumuna getirelim:
Pay: 3 · 6x
Payda: 2 · 2x
Oran: (3 · 6x) / (2 · 2x) = (3/2) · (6/2)x = (3/2) · 3x
Denklemi kuralım: (3/2) · 3x = 40,5
Her iki tarafı 2 ile çarpıp 3’e bölelim (yani 2/3 ile genişletelim):
3x = 40,5 · 2 / 3 => 3x = 81 / 3 => 3x = 27
27 sayısı 33 olduğundan x = 3 bulunur.
Pay ve paydayı adetlerine göre çarpım durumuna getirelim:
Pay: 3 · 6x
Payda: 2 · 2x
Oran: (3 · 6x) / (2 · 2x) = (3/2) · (6/2)x = (3/2) · 3x
Denklemi kuralım: (3/2) · 3x = 40,5
Her iki tarafı 2 ile çarpıp 3’e bölelim (yani 2/3 ile genişletelim):
3x = 40,5 · 2 / 3 => 3x = 81 / 3 => 3x = 27
27 sayısı 33 olduğundan x = 3 bulunur.
18. a = 5x olduğuna göre, (5x+1 – 5x-1) / 5x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Soruda verilen ifadedeki terimleri parçalayalım veya ortak paranteze alalım:
[ 5x · 51 – 5x · 5-1 ] / 5x
Pay kısmını 5x parantezine alırsak paydadaki 5x ile sadeleşir:
5x · (5 – 1/5) / 5x = 5 – 1/5
Payda eşitleyip çıkarma işlemini yaparsak: (25 – 1) / 5 = 24/5 bulunur. (Not: İşlem a değerinden bağımsız sabit bir sayıdır).
Soruda verilen ifadedeki terimleri parçalayalım veya ortak paranteze alalım:
[ 5x · 51 – 5x · 5-1 ] / 5x
Pay kısmını 5x parantezine alırsak paydadaki 5x ile sadeleşir:
5x · (5 – 1/5) / 5x = 5 – 1/5
Payda eşitleyip çıkarma işlemini yaparsak: (25 – 1) / 5 = 24/5 bulunur. (Not: İşlem a değerinden bağımsız sabit bir sayıdır).
19. (3-1 – 2-2) / 12-1 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
Pay kısmındaki rasyonel değerleri açalım:
3-1 = 1/3
2-2 = 1/(22) = 1/4
Pay: 1/3 – 1/4 = (4 – 3) / 12 = 1/12
Payda kısmı: 12-1 = 1/12
İşlem: (1/12) / (1/12) = 1 bulunur.
Pay kısmındaki rasyonel değerleri açalım:
3-1 = 1/3
2-2 = 1/(22) = 1/4
Pay: 1/3 – 1/4 = (4 – 3) / 12 = 1/12
Payda kısmı: 12-1 = 1/12
İşlem: (1/12) / (1/12) = 1 bulunur.
20. a ve b pozitif tam sayılardır. ab = 64 olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: D
Sonucu 64 yapan üslü tam sayı kombinasyonlarını tek tek yazalım:
1) 641 = 64 => a=64, b=1 => a+b = 65 (E seçeneği olabilir)
2) 82 = 64 => a=8, b=2 => a+b = 10 (C seçeneği olabilir)
3) 43 = 64 => a=4, b=3 => a+b = 7 (A seçeneği olabilir)
4) 26 = 64 => a=2, b=6 => a+b = 8 (B seçeneği olabilir)
Bu duruma göre seçeneklerdeki 12 değeri elde edilemez.
Sonucu 64 yapan üslü tam sayı kombinasyonlarını tek tek yazalım:
1) 641 = 64 => a=64, b=1 => a+b = 65 (E seçeneği olabilir)
2) 82 = 64 => a=8, b=2 => a+b = 10 (C seçeneği olabilir)
3) 43 = 64 => a=4, b=3 => a+b = 7 (A seçeneği olabilir)
4) 26 = 64 => a=2, b=6 => a+b = 8 (B seçeneği olabilir)
Bu duruma göre seçeneklerdeki 12 değeri elde edilemez.
Yorum gönder