10. Denklem Çözme (Birinci Dereceden Denklemler)
KPSS Matematik: Denklem Çözme Testi
1. 3x + 7 = 22 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
3x = 22 – 7
3x = 15
Her iki tarafı 3’e bölersek: x = 5 bulunur.
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
3x = 22 – 7
3x = 15
Her iki tarafı 3’e bölersek: x = 5 bulunur.
2. 4(x – 2) – 2(x + 1) = 10 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: B
Öncelikle parantezleri dağıtalım:
4x – 8 – 2x – 2 = 10
Benzer terimleri kendi arasında düzenleyelim:
2x – 10 = 10
2x = 10 + 10 => 2x = 20 => x = 10 değil, pardon! İşlemi tekrar kontrol edelim:
4x – 2x = 2x ve -8 – 2 = -10 yapar. 2x – 10 = 10 ise 2x = 20 ve x = 10 olur. Doğru cevap E seçeneğidir.
Öncelikle parantezleri dağıtalım:
4x – 8 – 2x – 2 = 10
Benzer terimleri kendi arasında düzenleyelim:
2x – 10 = 10
2x = 10 + 10 => 2x = 20 => x = 10 değil, pardon! İşlemi tekrar kontrol edelim:
4x – 2x = 2x ve -8 – 2 = -10 yapar. 2x – 10 = 10 ise 2x = 20 ve x = 10 olur. Doğru cevap E seçeneğidir.
3. (x / 2) + (x / 3) = 10 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Rasyonel denklemlerde payda eşitleme işlemi yapılır. 2 ve 3 sayıları 6’da eşitlenir:
(3x / 6) + (2x / 6) = 10
5x / 6 = 10
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
5x = 60 => x = 12 bulunur.
Rasyonel denklemlerde payda eşitleme işlemi yapılır. 2 ve 3 sayıları 6’da eşitlenir:
(3x / 6) + (2x / 6) = 10
5x / 6 = 10
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
5x = 60 => x = 12 bulunur.
4. (a – 3)x + b – 5 = 0 ifadesi her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, a + b toplamı kaçtır?
Cevap: D
Bir denklemin bütün x değerleri için sağlanması (Sonsuz çözümlü olması), x’in katsayısının ve sabit terimin ayrı ayrı sıfıra eşit olmasıyla mümkündür:
1) a – 3 = 0 => a = 3
2) b – 5 = 0 => b = 5
Toplamları: a + b = 3 + 5 = 8 bulunur.
Bir denklemin bütün x değerleri için sağlanması (Sonsuz çözümlü olması), x’in katsayısının ve sabit terimin ayrı ayrı sıfıra eşit olmasıyla mümkündür:
1) a – 3 = 0 => a = 3
2) b – 5 = 0 => b = 5
Toplamları: a + b = 3 + 5 = 8 bulunur.
5. (2x – 1) / 3 = (x + 2) / 2 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: E
Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı uygulayalım:
2 · (2x – 1) = 3 · (x + 2)
4x – 2 = 3x + 6
3x’i sola, -2’yi sağa atalım:
4x – 3x = 6 + 2 => x = 8 bulunur.
Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı uygulayalım:
2 · (2x – 1) = 3 · (x + 2)
4x – 2 = 3x + 6
3x’i sola, -2’yi sağa atalım:
4x – 3x = 6 + 2 => x = 8 bulunur.
6. (a – 2)x + 4 = 5x + 9 denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: C
Birinci dereceden bir denklemde çözüm kümesinin boş küme olması için, bilinmeyenlerin (x’lerin) birbirini yok etmesi fakat sabit sayıların eşit olmaması gerekir.
Yani iki taraftaki x’lerin katsayıları eşit olmalıdır:
a – 2 = 5 => a = 7 bulunur. (a=7 için 5x + 4 = 5x + 9 olur ve 4 = 9 çelişkisi doğar).
Birinci dereceden bir denklemde çözüm kümesinin boş küme olması için, bilinmeyenlerin (x’lerin) birbirini yok etmesi fakat sabit sayıların eşit olmaması gerekir.
Yani iki taraftaki x’lerin katsayıları eşit olmalıdır:
a – 2 = 5 => a = 7 bulunur. (a=7 için 5x + 4 = 5x + 9 olur ve 4 = 9 çelişkisi doğar).
7. 1 + [ 6 / (1 + (2 / x)) ] = 4 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: B
Bu tür merdiven tipi denklemleri dıştan içe doğru sorgulayarak çözeriz:
1 ile neyi toplarsak 4 yapar? Kesirli kısım 3 olmalıdır.
6’yı kaça bölersek 3 yapar? Payda kısmı yani [1 + (2 / x)] = 2 olmalıdır.
1 ile neyi toplarsak 2 yapar? (2 / x) = 1 olmalıdır.
2’yi kaça bölersek 1 yapar? x = 2 bulunur.
Bu tür merdiven tipi denklemleri dıştan içe doğru sorgulayarak çözeriz:
1 ile neyi toplarsak 4 yapar? Kesirli kısım 3 olmalıdır.
6’yı kaça bölersek 3 yapar? Payda kısmı yani [1 + (2 / x)] = 2 olmalıdır.
1 ile neyi toplarsak 2 yapar? (2 / x) = 1 olmalıdır.
2’yi kaça bölersek 1 yapar? x = 2 bulunur.
8. x + y = 12 ve x – y = 4 olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
Cevap: B
İki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayarak y’leri yok edelim:
(x + y) + (x – y) = 12 + 4
2x = 16 => x = 8
Herhangi bir denklemde yerine yazalım: 8 + y = 12 => y = 4
Çarpımları: x · y = 8 · 4 = 32 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayarak y’leri yok edelim:
(x + y) + (x – y) = 12 + 4
2x = 16 => x = 8
Herhangi bir denklemde yerine yazalım: 8 + y = 12 => y = 4
Çarpımları: x · y = 8 · 4 = 32 bulunur.
9. 2x + 3y = 13 ve x – y = 4 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
Cevap: C
İkinci denklemi 3 ile genişleterek y terimlerini eşitleyelim:
3x – 3y = 12
Şimdi ilk denklemle taraf tarafa toplayalım:
(2x + 3y) + (3x – 3y) = 13 + 12
5x = 25 => x = 5
x – y = 4 denkleminde yerine yazarsak: 5 – y = 4 => y = 1
Toplamları: x + y = 5 + 1 = 6 bulunur.
İkinci denklemi 3 ile genişleterek y terimlerini eşitleyelim:
3x – 3y = 12
Şimdi ilk denklemle taraf tarafa toplayalım:
(2x + 3y) + (3x – 3y) = 13 + 12
5x = 25 => x = 5
x – y = 4 denkleminde yerine yazarsak: 5 – y = 4 => y = 1
Toplamları: x + y = 5 + 1 = 6 bulunur.
10. (1 / x) + (1 / y) = 5 / 6 ve (1 / x) – (1 / y) = 1 / 6 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: A
İfadeleri taraf tarafa toplarsak (1 / y) ve (-1 / y) birbirini sıfırlar:
2 / x = (5 / 6) + (1 / 6)
2 / x = 6 / 6 => 2 / x = 1
Buradan x = 2 bulunur.
İfadeleri taraf tarafa toplarsak (1 / y) ve (-1 / y) birbirini sıfırlar:
2 / x = (5 / 6) + (1 / 6)
2 / x = 6 / 6 => 2 / x = 1
Buradan x = 2 bulunur.
11. 3x – 2y + z = 10 ve x + 2y + 3z = 6 sistemine göre, x + z toplamı kaçtır?
Cevap: B
Denklemlere dikkat edilirse y’lerin katsayıları birbirinin zıt işaretlisidir (-2y ve +2y). Doğrudan taraf tarafa toplayalım:
(3x – 2y + z) + (x + 2y + 3z) = 10 + 6
4x + 4z = 16
İfadeyi 4 parantezine alırsak: 4(x + z) = 16 => x + z = 4 bulunur.
Denklemlere dikkat edilirse y’lerin katsayıları birbirinin zıt işaretlisidir (-2y ve +2y). Doğrudan taraf tarafa toplayalım:
(3x – 2y + z) + (x + 2y + 3z) = 10 + 6
4x + 4z = 16
İfadeyi 4 parantezine alırsak: 4(x + z) = 16 => x + z = 4 bulunur.
12. Hangi sayının 3 katının 2 eksiği, aynı sayının 2 katının 5 fazlasına eşittir?
Cevap: C
Bilinmeyen sayımıza x diyelim ve sözel ifadeyi denkleme dökelim:
3x – 2 = 2x + 5
2x’i sola, -2’yi sağa geçirirsek:
3x – 2x = 5 + 2 => x = 7 bulunur.
Bilinmeyen sayımıza x diyelim ve sözel ifadeyi denkleme dökelim:
3x – 2 = 2x + 5
2x’i sola, -2’yi sağa geçirirsek:
3x – 2x = 5 + 2 => x = 7 bulunur.
13. (2x + 4) / (x – 1) = 5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: B
İçler dışlar çarpımı yaparak paydayı karşı tarafa geçirelim:
2x + 4 = 5 · (x – 1)
2x + 4 = 5x – 5
2x’i sağ tarafa, -5’i sol tarafa alalım:
4 + 5 = 5x – 2x => 9 = 3x => x = 3 bulunur.
İçler dışlar çarpımı yaparak paydayı karşı tarafa geçirelim:
2x + 4 = 5 · (x – 1)
2x + 4 = 5x – 5
2x’i sağ tarafa, -5’i sol tarafa alalım:
4 + 5 = 5x – 2x => 9 = 3x => x = 3 bulunur.
14. 0,2x + 0,5 = 1,1 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Ondalık sayılardan kurtulmak için denklemin her iki tarafını da 10 ile genişletelim:
2x + 5 = 11
2x = 11 – 5 => 2x = 6 => x = 3 bulunur.
Ondalık sayılardan kurtulmak için denklemin her iki tarafını da 10 ile genişletelim:
2x + 5 = 11
2x = 11 – 5 => 2x = 6 => x = 3 bulunur.
15. 2(x – 3) – 3(x – 1) = 5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: A
Katsayıları parantez içlerine dikkatlice dağıtalım (eksi işaretine dikkat):
2x – 6 – 3x + 3 = 5
Sol tarafı düzenleyelim:
-x – 3 = 5
-3’ü karşıya atalım: -x = 5 + 3 => -x = 8 => x = -8 bulunur.
Katsayıları parantez içlerine dikkatlice dağıtalım (eksi işaretine dikkat):
2x – 6 – 3x + 3 = 5
Sol tarafı düzenleyelim:
-x – 3 = 5
-3’ü karşıya atalım: -x = 5 + 3 => -x = 8 => x = -8 bulunur.
16. a + b = 5, b + c = 7 ve a + c = 8 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Cevap: B
Verilen üç denklemi de taraf tarafa toplayalım. Sol tarafta her harften ikişer adet oluşacaktır:
(a + b) + (b + c) + (a + c) = 5 + 7 + 8
2a + 2b + 2c = 20
İfadeyi 2 parantezine alıp sadeleştirelim:
2(a + b + c) = 20 => a + b + c = 10 bulunur.
Verilen üç denklemi de taraf tarafa toplayalım. Sol tarafta her harften ikişer adet oluşacaktır:
(a + b) + (b + c) + (a + c) = 5 + 7 + 8
2a + 2b + 2c = 20
İfadeyi 2 parantezine alıp sadeleştirelim:
2(a + b + c) = 20 => a + b + c = 10 bulunur.
17. 4 – [ 2 – (x – 1) ] = 5 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
En içteki parantezden başlayarak eksiyi dağıtalım:
4 – [ 2 – x + 1 ] = 5
4 – [ 3 – x ] = 5
Köşeli parantezin önündeki eksiyi dağıtalım:
4 – 3 + x = 5
1 + x = 5 => x = 4 bulunur.
En içteki parantezden başlayarak eksiyi dağıtalım:
4 – [ 2 – x + 1 ] = 5
4 – [ 3 – x ] = 5
Köşeli parantezin önündeki eksiyi dağıtalım:
4 – 3 + x = 5
1 + x = 5 => x = 4 bulunur.
18. [ (x – 3) / (x – 3) ] + 2x = 7 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Denklemi x ≠ 3 şartıyla çözeriz, çünkü x=3 paydayı sıfır yapar ve ifadeyi tanımsız kılar.
x ≠ 3 için (x-3)/(x-3) = 1 olur.
Denklem: 1 + 2x = 7 => 2x = 6 => x = 3 bulunur.
Bulduğumuz değer (3) başlangıçtaki tanım gereği paydayı sıfır yaptığından çözüm olarak kabul edilemez. Bu yüzden Çözüm Kümesi boş kümedir (∅).
Denklemi x ≠ 3 şartıyla çözeriz, çünkü x=3 paydayı sıfır yapar ve ifadeyi tanımsız kılar.
x ≠ 3 için (x-3)/(x-3) = 1 olur.
Denklem: 1 + 2x = 7 => 2x = 6 => x = 3 bulunur.
Bulduğumuz değer (3) başlangıçtaki tanım gereği paydayı sıfır yaptığından çözüm olarak kabul edilemez. Bu yüzden Çözüm Kümesi boş kümedir (∅).
19. mx – 3 = 2x + n denklemi her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, m · n çarpımı kaçtır?
Cevap: A
Eşitliğin her iki tarafındaki x’li terimlerin katsayıları kendi arasında, sabit sayılar da kendi arasında eşit olmalıdır:
1) m = 2 (x’in katsayıları)
2) -3 = n => n = -3 (Sabit sayılar)
Çarpımları: m · n = 2 · (-3) = -6 bulunur.
Eşitliğin her iki tarafındaki x’li terimlerin katsayıları kendi arasında, sabit sayılar da kendi arasında eşit olmalıdır:
1) m = 2 (x’in katsayıları)
2) -3 = n => n = -3 (Sabit sayılar)
Çarpımları: m · n = 2 · (-3) = -6 bulunur.
20. [ (x + 1) / 2 ] – [ (x – 1) / 3 ] = 2 olduğuna göre, x kaçtır?
Cevap: C
Paydaları 6’da eşitleyelim (birinci kesri 3, ikinci kesri 2 ile genişletelim):
[ 3(x + 1) – 2(x – 1) ] / 6 = 2
[ 3x + 3 – 2x + 2 ] / 6 = 2
(x + 5) / 6 = 2
İçler dışlar çarpımı yaparsak: x + 5 = 12 => x = 7 bulunur.
Paydaları 6’da eşitleyelim (birinci kesri 3, ikinci kesri 2 ile genişletelim):
[ 3(x + 1) – 2(x – 1) ] / 6 = 2
[ 3x + 3 – 2x + 2 ] / 6 = 2
(x + 5) / 6 = 2
İçler dışlar çarpımı yaparsak: x + 5 = 12 => x = 7 bulunur.
Yorum gönder