13. Çarpanlara Ayırma
KPSS Matematik: Çarpanlara Ayırma Testi
1. 3x2y – 6xy2 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanır. İki terimde de ortak olan en büyük çarpan grubu 3xy’dir:
3x2y teriminden geriye x kalır.
6xy2 teriminden geriye 2y kalır.
Paranteze alırsak: 3xy · (x – 2y) elde edilir.
Ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanır. İki terimde de ortak olan en büyük çarpan grubu 3xy’dir:
3x2y teriminden geriye x kalır.
6xy2 teriminden geriye 2y kalır.
Paranteze alırsak: 3xy · (x – 2y) elde edilir.
2. a2 – b2 = 40 ve a – b = 4 olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: C
İki kare farkı özdeşliği uygulanır: a2 – b2 = (a – b) · (a + b)
Verilen değerleri yerine yazalım:
40 = 4 · (a + b) => a + b = 10 olur.
Şimdi iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:
a + b = 10
a – b = 4
Taraf tarafa toplarsak: 2a = 14 => a = 7 bulunur.
İki kare farkı özdeşliği uygulanır: a2 – b2 = (a – b) · (a + b)
Verilen değerleri yerine yazalım:
40 = 4 · (a + b) => a + b = 10 olur.
Şimdi iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim:
a + b = 10
a – b = 4
Taraf tarafa toplarsak: 2a = 14 => a = 7 bulunur.
3. x + y = 7 ve x · y = 10 olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
Cevap: C
Tam kare özdeşliğinden yararlanırız: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Verilenleri formülde yerine koyalım:
72 = x2 + y2 + 2 · 10
49 = x2 + y2 + 20
x2 + y2 = 49 – 20 = 29 bulunur.
Tam kare özdeşliğinden yararlanırız: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Verilenleri formülde yerine koyalım:
72 = x2 + y2 + 2 · 10
49 = x2 + y2 + 20
x2 + y2 = 49 – 20 = 29 bulunur.
4. ax + ay – bx – by ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır. İfadeyi ikişerli gruplara ayıralım:
(ax + ay) – (bx + by) = a(x + y) – b(x + y)
Şimdi ortak olan (x + y) parantezine alalım:
(x + y) · (a – b) elde edilir.
Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır. İfadeyi ikişerli gruplara ayıralım:
(ax + ay) – (bx + by) = a(x + y) – b(x + y)
Şimdi ortak olan (x + y) parantezine alalım:
(x + y) · (a – b) elde edilir.
5. x2 – 7x + 12 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
x2 + bx + c biçimindeki üç terimlileri çarpanlarına ayırırken; çarpımları +12’yi, toplamları ise -7’yi veren iki sayı buluruz.
Bu sayılar -3 ve -4’tür [(-3) · (-4) = 12 ve (-3) + (-4) = -7].
İfadenin çarpanlara ayrılmış hali: (x – 3)(x – 4) olur. Şıklarda x – 3 mevcuttur.
x2 + bx + c biçimindeki üç terimlileri çarpanlarına ayırırken; çarpımları +12’yi, toplamları ise -7’yi veren iki sayı buluruz.
Bu sayılar -3 ve -4’tür [(-3) · (-4) = 12 ve (-3) + (-4) = -7].
İfadenin çarpanlara ayrılmış hali: (x – 3)(x – 4) olur. Şıklarda x – 3 mevcuttur.
6. (x2 – 9) / (x2 – 3x) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A
Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
Pay (İki kare farkı): x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Payda (Ortak parantez): x2 – 3x = x(x – 3)
Kesirde yerine koyup sadeleştirelim:
[ (x – 3)(x + 3) ] / [ x(x – 3) ]
(x – 3) terimleri sadeleşir, geriye (x + 3) / x kalır.
Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
Pay (İki kare farkı): x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
Payda (Ortak parantez): x2 – 3x = x(x – 3)
Kesirde yerine koyup sadeleştirelim:
[ (x – 3)(x + 3) ] / [ x(x – 3) ]
(x – 3) terimleri sadeleşir, geriye (x + 3) / x kalır.
7. x – y = 4 ve x · y = 3 olduğuna göre, x3 – y3 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: C
İki küp farkının değer bulma formülü uygulanır: x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
Verilen değerleri formüle yerleştirelim:
x3 – y3 = (4)3 + 3 · (3) · (4)
x3 – y3 = 64 + 36 = 100 bulunur.
İki küp farkının değer bulma formülü uygulanır: x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
Verilen değerleri formüle yerleştirelim:
x3 – y3 = (4)3 + 3 · (3) · (4)
x3 – y3 = 64 + 36 = 100 bulunur.
8. a2 – 6a + 9 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
İfade tam kare açılımına uygundur. Birincinin karesi (a2), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (-6a) ve ikincinin karesi (+9) unsurlarını barındırır.
Bu ifade doğrudan (a – 3)2 açılımıdır.
İfade tam kare açılımına uygundur. Birincinin karesi (a2), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı (-6a) ve ikincinin karesi (+9) unsurlarını barındırır.
Bu ifade doğrudan (a – 3)2 açılımıdır.
9. (m2 – mn) / (n2 – mn) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Payı m parantezine, paydayı n parantezine alalım:
Pay: m(m – n)
Payda: n(n – m)
Dikkat edilirse (m – n) ile (n – m) birbirinin ters işaretlisidir. Sadeleştiklerinde -1 çarpanı kalır:
[ m · (m – n) ] / [ n · (n – m) ] = – (m / n) bulunur.
Payı m parantezine, paydayı n parantezine alalım:
Pay: m(m – n)
Payda: n(n – m)
Dikkat edilirse (m – n) ile (n – m) birbirinin ters işaretlisidir. Sadeleştiklerinde -1 çarpanı kalır:
[ m · (m – n) ] / [ n · (n – m) ] = – (m / n) bulunur.
10. x2 – 5x + 1 = 0 olduğuna göre, x2 + (1 / x2) toplamının değeri kaçtır?
Cevap: B
Denklemin her tarafını x’e bölerek düzenleyelim:
(x2 / x) – (5x / x) + (1 / x) = 0 / x
x – 5 + 1/x = 0 => x + 1/x = 5 elde edilir.
Şimdi her iki tarafın karesini alalım:
(x + 1/x)2 = 52
x2 + 2 · x · (1/x) + 1/x2 = 25
x2 + 2 + 1/x2 = 25 => x2 + 1/x2 = 23 bulunur.
Denklemin her tarafını x’e bölerek düzenleyelim:
(x2 / x) – (5x / x) + (1 / x) = 0 / x
x – 5 + 1/x = 0 => x + 1/x = 5 elde edilir.
Şimdi her iki tarafın karesini alalım:
(x + 1/x)2 = 52
x2 + 2 · x · (1/x) + 1/x2 = 25
x2 + 2 + 1/x2 = 25 => x2 + 1/x2 = 23 bulunur.
11. 20262 – 20252 işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: D
İki kare farkı kuralını uygulayalım:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
(2026 – 2025) · (2026 + 2025)
1 · 4051 = 4051 bulunur.
İki kare farkı kuralını uygulayalım:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
(2026 – 2025) · (2026 + 2025)
1 · 4051 = 4051 bulunur.
12. x2 + 3x – 10 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Çarpımları -10, toplamları +3 olan iki sayı bulalım: Bunlar +5 ve -2’dir.
[(+5) · (-2) = -10 ve (+5) + (-2) = 3].
İfadenin çarpanları: (x + 5)(x – 2) şeklindedir. Seçeneklerde x – 2 yer alır.
Çarpımları -10, toplamları +3 olan iki sayı bulalım: Bunlar +5 ve -2’dir.
[(+5) · (-2) = -10 ve (+5) + (-2) = 3].
İfadenin çarpanları: (x + 5)(x – 2) şeklindedir. Seçeneklerde x – 2 yer alır.
13. [ (x2 – 1) / (x + 1) ] · [ 2 / (x – 1) ] işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: B
İlk kesrin payındaki iki kare farkını açalım:
[ (x – 1)(x + 1) / (x + 1) ] · [ 2 / (x – 1) ]
İlk kesirde (x + 1)’ler sadeleşir ve geriye (x – 1) kalır.
İşlem: (x – 1) · [ 2 / (x – 1) ] halini alır. (x – 1)’ler de birbirini götürür ve sonuç 2 kalır.
İlk kesrin payındaki iki kare farkını açalım:
[ (x – 1)(x + 1) / (x + 1) ] · [ 2 / (x – 1) ]
İlk kesirde (x + 1)’ler sadeleşir ve geriye (x – 1) kalır.
İşlem: (x – 1) · [ 2 / (x – 1) ] halini alır. (x – 1)’ler de birbirini götürür ve sonuç 2 kalır.
14. a – b = 5 ve b – c = 5 olduğuna göre, a2 + c2 – 2b2 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: D
İfadeyi şu şekilde parçalayarak düzenleyelim:
a2 + c2 – b2 – b2 = (a2 – b2) + (c2 – b2)
İki kare farkı açılımlarını yapalım:
(a – b)(a + b) + (c – b)(c + b)
Soruda b – c = 5 verildiği için c – b = -5 olur. Değerleri yazalım:
5(a + b) – 5(c + b) = 5(a + b – c – b) = 5(a – c)
a – c değerini bulmak için verilen iki denklemi toplayalım:
(a – b) + (b – c) = 5 + 5 => a – c = 10 olur.
Sonuç: 5 · 10 = 50 bulunur.
İfadeyi şu şekilde parçalayarak düzenleyelim:
a2 + c2 – b2 – b2 = (a2 – b2) + (c2 – b2)
İki kare farkı açılımlarını yapalım:
(a – b)(a + b) + (c – b)(c + b)
Soruda b – c = 5 verildiği için c – b = -5 olur. Değerleri yazalım:
5(a + b) – 5(c + b) = 5(a + b – c – b) = 5(a – c)
a – c değerini bulmak için verilen iki denklemi toplayalım:
(a – b) + (b – c) = 5 + 5 => a – c = 10 olur.
Sonuç: 5 · 10 = 50 bulunur.
15. (x2 + ax – 8) / (x – 2) kesri sadeleşebilir bir kesir olduğuna göre, a kaçtır?
Cevap: B
Kesrin sadeleşebilmesi için, pay kısmındaki ifadenin çarpanlarından birinin paydadaki (x – 2) olması gerekir.
Bu durum, x = 2 değerinin payı sıfır (0) yapması gerektiği anlamına gelir:
22 + a · 2 – 8 = 0
4 + 2a – 8 = 0 => 2a – 4 = 0 => 2a = 4 => a = 2 bulunur.
Kesrin sadeleşebilmesi için, pay kısmındaki ifadenin çarpanlarından birinin paydadaki (x – 2) olması gerekir.
Bu durum, x = 2 değerinin payı sıfır (0) yapması gerektiği anlamına gelir:
22 + a · 2 – 8 = 0
4 + 2a – 8 = 0 => 2a – 4 = 0 => 2a = 4 => a = 2 bulunur.
16. x4 – 10x2 + 9 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevap: E
x2 = t dönüşümü yapalım: İfade t2 – 10t + 9 olur.
Çarpanlarına ayırırsak: (t – 9)(t – 1)
t yerine tekrar x2 yazalım: (x2 – 9)(x2 – 1)
Her iki çarpanı da iki kare farkına göre tekrar açalım:
(x – 3)(x + 3)(x – 1)(x + 1)
Görüldüğü üzere seçeneklerdeki x – 2 bu ifadenin bir çarpanı olamaz.
x2 = t dönüşümü yapalım: İfade t2 – 10t + 9 olur.
Çarpanlarına ayırırsak: (t – 9)(t – 1)
t yerine tekrar x2 yazalım: (x2 – 9)(x2 – 1)
Her iki çarpanı da iki kare farkına göre tekrar açalım:
(x – 3)(x + 3)(x – 1)(x + 1)
Görüldüğü üzere seçeneklerdeki x – 2 bu ifadenin bir çarpanı olamaz.
17. (1 – 1/a2) / (1 – 1/a) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: C
Pay kısmındaki ifade 12 – (1/a)2 şeklinde bir iki kare farkıdır, açalım:
[ (1 – 1/a) · (1 + 1/a) ] / (1 – 1/a)
Pay ve paydadaki (1 – 1/a) ifadeleri sadeleşir. Geriye 1 + 1/a kalır.
Payda eşitlersek: (a + 1) / a elde edilir.
Pay kısmındaki ifade 12 – (1/a)2 şeklinde bir iki kare farkıdır, açalım:
[ (1 – 1/a) · (1 + 1/a) ] / (1 – 1/a)
Pay ve paydadaki (1 – 1/a) ifadeleri sadeleşir. Geriye 1 + 1/a kalır.
Payda eşitlersek: (a + 1) / a elde edilir.
18. x = √7 + 1 olduğuna göre, x2 – 2x + 6 ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap: C
İstenen ifadeyi tam kareye benzetmek için düzenleyelim:
x2 – 2x + 6 = (x2 – 2x + 1) + 5 = (x – 1)2 + 5
Soruda verilen x = √7 + 1 eşitliğinde 1’i sola atarsak x – 1 = √7 olur.
Bulduğumuz değeri yerine yazalım:
(√7)2 + 5 = 7 + 5 = 12 bulunur.
İstenen ifadeyi tam kareye benzetmek için düzenleyelim:
x2 – 2x + 6 = (x2 – 2x + 1) + 5 = (x – 1)2 + 5
Soruda verilen x = √7 + 1 eşitliğinde 1’i sola atarsak x – 1 = √7 olur.
Bulduğumuz değeri yerine yazalım:
(√7)2 + 5 = 7 + 5 = 12 bulunur.
19. (x3 + 8) / (x2 – 2x + 4) ifadesisinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: B
Pay kısmındaki iki küp toplamını (x3 + 23) açalım:
x3 + 23 = (x + 2) · (x2 – 2x + 4)
Kesirde yerine yazarsak:
[ (x + 2)(x2 – 2x + 4) ] / (x2 – 2x + 4)
Üç terimli (x2 – 2x + 4) ifadeleri sadeleşir ve geriye yalnızca x + 2 kalır.
Pay kısmındaki iki küp toplamını (x3 + 23) açalım:
x3 + 23 = (x + 2) · (x2 – 2x + 4)
Kesirde yerine yazarsak:
[ (x + 2)(x2 – 2x + 4) ] / (x2 – 2x + 4)
Üç terimli (x2 – 2x + 4) ifadeleri sadeleşir ve geriye yalnızca x + 2 kalır.
20. [ (3a + 3b) / (a2 – b2) ] : [ 6 / (a – b) ] işleminin sonucu kaçtır?
Cevap: A
İlk kesri çarpanlarına ayıralım, ikinci kesri ters çevirip çarpalım:
[ 3(a + b) / ((a – b)(a + b)) ] · [ (a – b) / 6 ]
İlk kesirde (a + b)’ler sadeleşir: [ 3 / (a – b) ] · [ (a – b) / 6 ]
Şimdi de (a – b) ifadeleri çapraz olarak birbirini götürür.
Geriye 3 / 6 kalır, sadeleştirirsek sonuç 1 / 2 olur.
İlk kesri çarpanlarına ayıralım, ikinci kesri ters çevirip çarpalım:
[ 3(a + b) / ((a – b)(a + b)) ] · [ (a – b) / 6 ]
İlk kesirde (a + b)’ler sadeleşir: [ 3 / (a – b) ] · [ (a – b) / 6 ]
Şimdi de (a – b) ifadeleri çapraz olarak birbirini götürür.
Geriye 3 / 6 kalır, sadeleştirirsek sonuç 1 / 2 olur.
Yorum gönder