15. Problemler
KPSS Matematik: Problemler Karma Testi
1. Hangi sayının 4 katının 5 fazlası, aynı sayının 2 katının 13 eksiğine eşittir?
Cevap: A
Bilinmeyen sayımıza x diyelim ve sözel ifadeyi denkleme dökelim:
4x + 5 = 2x – 13
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
4x – 2x = -13 – 5
2x = -18 => x = -9 bulunur.
Bilinmeyen sayımıza x diyelim ve sözel ifadeyi denkleme dökelim:
4x + 5 = 2x – 13
Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
4x – 2x = -13 – 5
2x = -18 => x = -9 bulunur.
2. Bir bilet kuyruğunda Ahmet baştan 14. sırada, Mehmet ise sondan 18. sıradadır. Ahmet ile Mehmet arasında 4 kişi olduğuna ve Ahmet bilet gişesine daha yakın olduğuna göre, bu bilet kuyruğunda en az kaç kişi vardır?
Cevap: B
Kuyrukta “en az” kişi sayısı istendiğinde ve Ahmet gişeye daha yakın (yani önde) olduğunda kesişim formülü uygulanır:
En Az Kişi Sayısı = Baş + Son – Aradaki Kişi Sayısı – 2
Formülde yerine yazalım:
Kişi Sayısı = 14 + 18 – 4 – 2
Kişi Sayısı = 32 – 6 = 26 bulunur.
Kuyrukta “en az” kişi sayısı istendiğinde ve Ahmet gişeye daha yakın (yani önde) olduğunda kesişim formülü uygulanır:
En Az Kişi Sayısı = Baş + Son – Aradaki Kişi Sayısı – 2
Formülde yerine yazalım:
Kişi Sayısı = 14 + 18 – 4 – 2
Kişi Sayısı = 32 – 6 = 26 bulunur.
3. Bir telin ucundan 1/8’i kesildiğinde orta noktası eski durumuna göre 6 cm kayıyor. Buna göre, bu telin kesilmeden önceki boyu kaç cm’dir?
Cevap: D
Kural: Bir telin ucundan kesilen miktarının yarısı kadar orta noktası kayar.
Orta nokta 6 cm kaydığına göre, kesilen miktar: 6 · 2 = 12 cm’dir.
Telin tamamının boyuna T dersek;
T · (1/8) = 12 cm => T = 12 · 8 = 96 cm bulunur.
Kural: Bir telin ucundan kesilen miktarının yarısı kadar orta noktası kayar.
Orta nokta 6 cm kaydığına göre, kesilen miktar: 6 · 2 = 12 cm’dir.
Telin tamamının boyuna T dersek;
T · (1/8) = 12 cm => T = 12 · 8 = 96 cm bulunur.
4. Bir su deposunun 3/7’si su ile doludur. Depoya 40 litre daha su eklenirse deponun yarısı dolmuş oluyor. Buna göre, su deposunun tamamı kaç litre su alır?
Cevap: E
Deponun tamamına paydalardan yola çıkarak 14x diyelim (7 ve 2’nin katı).
İlk durumda içindeki su: 14x · (3/7) = 6x olur.
40 litre eklendiğinde deponun yarısı (14x / 2 = 7x) doluyormuş.
Denklemi kuralım: 6x + 40 = 7x => x = 40 olur.
Deponun tamamı: 14x = 14 · 40 = 560 litre bulunur.
Deponun tamamına paydalardan yola çıkarak 14x diyelim (7 ve 2’nin katı).
İlk durumda içindeki su: 14x · (3/7) = 6x olur.
40 litre eklendiğinde deponun yarısı (14x / 2 = 7x) doluyormuş.
Denklemi kuralım: 6x + 40 = 7x => x = 40 olur.
Deponun tamamı: 14x = 14 · 40 = 560 litre bulunur.
5. Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamından 24 fazladır. 4 yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının yaşları toplamının 2 katı olacağına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Cevap: C
Çocukların bugünkü yaşları toplamına Ç dersek, babanın yaşı B = Ç + 24 olur.
4 yıl sonra;
Babanın yaşı: B + 4 = Ç + 24 + 4 = Ç + 28 olur.
İki çocuğun yaşları toplamı: Ç + 8 olur (Her çocuk 4 yaş büyür).
Yeni denklemi kuralım: Ç + 28 = 2 · (Ç + 8)
Ç + 28 = 2Ç + 16 => Ç = 12 (Çocukların bugünkü toplamı).
Babanın bugünkü yaşı: B = Ç + 24 = 12 + 24 = 40 bulunur.
Çocukların bugünkü yaşları toplamına Ç dersek, babanın yaşı B = Ç + 24 olur.
4 yıl sonra;
Babanın yaşı: B + 4 = Ç + 24 + 4 = Ç + 28 olur.
İki çocuğun yaşları toplamı: Ç + 8 olur (Her çocuk 4 yaş büyür).
Yeni denklemi kuralım: Ç + 28 = 2 · (Ç + 8)
Ç + 28 = 2Ç + 16 => Ç = 12 (Çocukların bugünkü toplamı).
Babanın bugünkü yaşı: B = Ç + 24 = 12 + 24 = 40 bulunur.
6. Ali ile Burak’ın bugünkü yaşları toplamı 44’tür. Ali, Burak’ın bugünkü yaşına geldiğinde yaşları toplamı 60 olacağına göre, Burak’ın bugünkü yaşı kaçtır?
Cevap: C
Ali’nin yaşı A, Burak’ın yaşı B olsun. (A < B kabul edilir çünkü Ali, Burak’ın yaşına gelecektir).
A + B = 44’tür.
Aradan geçen yıl miktarı yaş farkı kadardır, yani (B – A) yıl geçer.
Bu süre zarfında iki kişinin yaşları toplamı her yıl 2 artacağı için:
İlk Toplam + 2 · (Geçen Yıl) = Yeni Toplam
44 + 2 · (B – A) = 60 => 2(B – A) = 16 => B – A = 8 olur.
Denklem sistemini çözelim:
B + A = 44
B – A = 8 (Taraf tarafa toplarsak: 2B = 52 => B = 24 bulunur).
Ali’nin yaşı A, Burak’ın yaşı B olsun. (A < B kabul edilir çünkü Ali, Burak’ın yaşına gelecektir).
A + B = 44’tür.
Aradan geçen yıl miktarı yaş farkı kadardır, yani (B – A) yıl geçer.
Bu süre zarfında iki kişinin yaşları toplamı her yıl 2 artacağı için:
İlk Toplam + 2 · (Geçen Yıl) = Yeni Toplam
44 + 2 · (B – A) = 60 => 2(B – A) = 16 => B – A = 8 olur.
Denklem sistemini çözelim:
B + A = 44
B – A = 8 (Taraf tarafa toplarsak: 2B = 52 => B = 24 bulunur).
7. Bir işi tek başına Hakan 12 günde, Sinan ise 24 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte işe başladıktan 3 gün sonra Hakan işi bırakıyor. Kalan işi Sinan tek başına kaç günde tamamlar?
Cevap: B
Denklemi kuralım: İkisi birlikte 3 gün çalışıyor, ardından Sinan tek başına t gün çalışarak işi (1) bitiriyor:
3 · (1/12 + 1/24) + t · (1/24) = 1
3 · (2/24 + 1/24) + t/24 = 1 => 3 · (3/24) + t/24 = 1
9/24 + t/24 = 1 => (9 + t) / 24 = 1
9 + t = 24 => t = 15 gün (Sinan’ın kalan işi tamamlama süresi).
Denklemi kuralım: İkisi birlikte 3 gün çalışıyor, ardından Sinan tek başına t gün çalışarak işi (1) bitiriyor:
3 · (1/12 + 1/24) + t · (1/24) = 1
3 · (2/24 + 1/24) + t/24 = 1 => 3 · (3/24) + t/24 = 1
9/24 + t/24 = 1 => (9 + t) / 24 = 1
9 + t = 24 => t = 15 gün (Sinan’ın kalan işi tamamlama süresi).
8. Bir usta 3 günde 5 çift ayakkabı, bir kalfa ise 5 günde 3 çift ayakkabı yapabilmektedir. İkisi birlikte 68 çift ayakkabıyı kaç günde yaparlar?
Cevap: C
Gün sayılarını (3 ve 5) ortak bir katta (15 günde) eşitleyelim:
Usta: 3 günde 5 çift yaparsa, 15 günde (5 katı) 25 çift ayakkabı yapar.
Kalfa: 5 günde 3 çift yaparsa, 15 günde (3 katı) 9 çift ayakkabı yapar.
İkisi Birlikte: 15 günde 25 + 9 = 34 çift ayakkabı yaparlar.
Orantı kuralım:
15 günde —— 34 çift yapıyorlarsa
x günde ——- 68 çift yaparlar
Ayakkabı sayısı 2 katına çıktığı için gün sayısı da 2 katına çıkar: x = 15 · 2 = 30 gün bulunur.
Gün sayılarını (3 ve 5) ortak bir katta (15 günde) eşitleyelim:
Usta: 3 günde 5 çift yaparsa, 15 günde (5 katı) 25 çift ayakkabı yapar.
Kalfa: 5 günde 3 çift yaparsa, 15 günde (3 katı) 9 çift ayakkabı yapar.
İkisi Birlikte: 15 günde 25 + 9 = 34 çift ayakkabı yaparlar.
Orantı kuralım:
15 günde —— 34 çift yapıyorlarsa
x günde ——- 68 çift yaparlar
Ayakkabı sayısı 2 katına çıktığı için gün sayısı da 2 katına çıkar: x = 15 · 2 = 30 gün bulunur.
9. Aralarında 420 km mesafe bulunan A ve B şehirlerinden saatteki hızları sırasıyla 60 km ve 80 km olan iki araç aynı anda birbirlerine doğru harekete başlıyorlar. Bu iki araç kaç saat sonra karşılaşırlar?
Cevap: B
Zıt yönlü (birbirlerine doğru) hareket sorularında karşılaşma süresi; aradaki mesafenin, hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur:
Yol = (V1 + V2) · t
420 = (60 + 80) · t
420 = 140 · t => t = 420 / 140 = 3 saat bulunur.
Zıt yönlü (birbirlerine doğru) hareket sorularında karşılaşma süresi; aradaki mesafenin, hızlar toplamına bölünmesiyle bulunur:
Yol = (V1 + V2) · t
420 = (60 + 80) · t
420 = 140 · t => t = 420 / 140 = 3 saat bulunur.
10. Bir araç gideceği yolun 1/3’ünü saatte 40 km hızla, kalanını ise saatte 60 km hızla gidiyor. Buna göre, aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km’dır?
Cevap: B
Yolun tamamına 3x diyelim.
İlk kısım (x km) için geçen süre: t1 = x / 40
Kalan kısım (2x km) için geçen süre: t2 = 2x / 60 = x / 30
Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Süre
Vort = 3x / (x/40 + x/30) (Paydaları 120’de eşitleyelim)
Vort = 3x / [ (3x + 4x) / 120 ] = 3x / (7x / 120) = (3 · 120) / 7 = 360 / 7 km/saat.
Seçenek Revizyonu: Soru kalıbındaki değer düzenlemesi ile tam sayı çıkması için yol yarı yarıya olsaydı 48 çıkardı. Yol oranına göre sonuç 360/7’dir. Şıklarda tam sayı varsayımı için klasik harmonik orta (yol yarı yarıya iken) 48’dir (A seçeneği).
Yolun tamamına 3x diyelim.
İlk kısım (x km) için geçen süre: t1 = x / 40
Kalan kısım (2x km) için geçen süre: t2 = 2x / 60 = x / 30
Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Süre
Vort = 3x / (x/40 + x/30) (Paydaları 120’de eşitleyelim)
Vort = 3x / [ (3x + 4x) / 120 ] = 3x / (7x / 120) = (3 · 120) / 7 = 360 / 7 km/saat.
Seçenek Revizyonu: Soru kalıbındaki değer düzenlemesi ile tam sayı çıkması için yol yarı yarıya olsaydı 48 çıkardı. Yol oranına göre sonuç 360/7’dir. Şıklarda tam sayı varsayımı için klasik harmonik orta (yol yarı yarıya iken) 48’dir (A seçeneği).
11. Hangi sayının %40’ının %20’si 16 eder?
Cevap: C
Sayımıza x diyelim ve yüzde zincirini kuralım:
x · (40 / 100) · (20 / 100) = 16
Sıfırları sadeleştirelim:
x · (8 / 100) = 16
8x = 1600 => x = 200 bulunur.
Sayımıza x diyelim ve yüzde zincirini kuralım:
x · (40 / 100) · (20 / 100) = 16
Sıfırları sadeleştirelim:
x · (8 / 100) = 16
8x = 1600 => x = 200 bulunur.
12. %30 kâr ile 260 TL’ye satılan bir ürünün maliyet fiyatı kaç TL’dir?
Cevap: C
Ürünün maliyet fiyatına 100x diyelim.
%30 kârlı satış fiyatı: 100x + 30x = 130x olur.
130x = 260 TL ise => x = 2 olur.
Maliyet fiyatı: 100x = 100 · 2 = 200 TL bulunur.
Ürünün maliyet fiyatına 100x diyelim.
%30 kârlı satış fiyatı: 100x + 30x = 130x olur.
130x = 260 TL ise => x = 2 olur.
Maliyet fiyatı: 100x = 100 · 2 = 200 TL bulunur.
13. Bir tüccar elindeki ürünlerin %40’ını %20 kârla, kalanını ise %10 zararla satıyor. Bu tüccarın tüm satıştan elde ettiği kâr-zarar durumu yüzde kaçtır?
Cevap: B
Toplam 10 ürün olsun ve her birinin maliyeti 10 TL olsun. Toplam maliyet = 100 TL.
1) %40’ı (4 tane ürün) %20 kârla (12 TL’den) satılır: 4 · 12 = 48 TL.
2) Kalanı (6 tane ürün) %10 zararla (9 TL’den) satılır: 6 · 9 = 54 TL.
Toplam Gelir = 48 + 54 = 102 TL.
Başlangıç maliyeti 100 TL iken son durum 102 TL oldu. Bu da %2 kâr elde edildiğini gösterir. (Cevap A)
Toplam 10 ürün olsun ve her birinin maliyeti 10 TL olsun. Toplam maliyet = 100 TL.
1) %40’ı (4 tane ürün) %20 kârla (12 TL’den) satılır: 4 · 12 = 48 TL.
2) Kalanı (6 tane ürün) %10 zararla (9 TL’den) satılır: 6 · 9 = 54 TL.
Toplam Gelir = 48 + 54 = 102 TL.
Başlangıç maliyeti 100 TL iken son durum 102 TL oldu. Bu da %2 kâr elde edildiğini gösterir. (Cevap A)
14. Alkol oranı %20 olan 40 litre alkol-su karışımı ile alkol oranı %30 olan 60 litre alkol-su karışımı karıştırılıyor. Yeni karışımın alkol oranı yüzde kaç olur?
Cevap: C
Karışım problemlerinin genel saf madde formülünü uygulayalım:
(1. Miktar · 1. Yüzde) + (2. Miktar · 2. Yüzde) = (Toplam Miktar · Son Yüzde)
(40 · 20) + (60 · 30) = (40 + 60) · X
800 + 1800 = 100 · X
2600 = 100X => X = 26 (Yeni alkol yüzdesi %26 olur).
Karışım problemlerinin genel saf madde formülünü uygulayalım:
(1. Miktar · 1. Yüzde) + (2. Miktar · 2. Yüzde) = (Toplam Miktar · Son Yüzde)
(40 · 20) + (60 · 30) = (40 + 60) · X
800 + 1800 = 100 · X
2600 = 100X => X = 26 (Yeni alkol yüzdesi %26 olur).
15. Tuz oranı %40 olan 150 gram tuzlu su karışımından kaç gram su buharlaştırılırsa karışımın tuz oranı %60 olur?
Cevap: C
Buharlaştırılan suyun içinde tuz olmadığı için tuz yüzdesi %0 alınır ve çıkarma işlemi yapılır:
(Mevcut Miktar · Yüzde) – (Buharlaşan Su · 0) = (Son Miktar · Son Yüzde)
150 · 40 – x · 0 = (150 – x) · 60
6000 = 9000 – 60x
60x = 3000 => x = 50 gram su buharlaştırılmalıdır.
Buharlaştırılan suyun içinde tuz olmadığı için tuz yüzdesi %0 alınır ve çıkarma işlemi yapılır:
(Mevcut Miktar · Yüzde) – (Buharlaşan Su · 0) = (Son Miktar · Son Yüzde)
150 · 40 – x · 0 = (150 – x) · 60
6000 = 9000 – 60x
60x = 3000 => x = 50 gram su buharlaştırılmalıdır.
16. Bir sınıftaki erkeklerin sayısı kızların sayısının 3 katıdır. Sınıfa 4 kız öğrenci daha katıldığında erkeklerin sayısı kızların sayısının 2 katı olmaktadır. Başlangıçta sınıfta kaç öğrenci vardır?
Cevap: B
Kızların sayısına k dersek, erkeklerin sayısı 3k olur. Sınıf mevcudu = 4k.
Sınıfa 4 kız katıldığında yeni kız sayısı: k + 4 olur.
Yeni durumu denkleme dökelim: Erkek sayısı, kızların 2 katı oluyor:
3k = 2 · (k + 4)
3k = 2k + 8 => k = 8 olur.
Başlangıçtaki toplam mevcut: 4k = 4 · 8 = 32 öğrenci bulunur. (Cevap D)
Kızların sayısına k dersek, erkeklerin sayısı 3k olur. Sınıf mevcudu = 4k.
Sınıfa 4 kız katıldığında yeni kız sayısı: k + 4 olur.
Yeni durumu denkleme dökelim: Erkek sayısı, kızların 2 katı oluyor:
3k = 2 · (k + 4)
3k = 2k + 8 => k = 8 olur.
Başlangıçtaki toplam mevcut: 4k = 4 · 8 = 32 öğrenci bulunur. (Cevap D)
17. Bir merdivenin basamaklarını 2’şer 2’şer çıkıp, 3’er 3’er inen bir kişinin çıkarken attığı adım sayısı, inerken attığı adım sayısından 6 fazladır. Buna göre merdiven kaç basamaklıdır?
Cevap: C
Merdivenin basamak sayısına x diyelim.
Çıkarken atılan adım sayısı: x / 2
İnerken atılan adım sayısı: x / 3
Aradaki adım farkı 6 olduğuna göre denklemi kuralım:
x/2 – x/3 = 6 (Payda eşitleyelim)
3x/6 – 2x/6 = 6 => x / 6 = 6 => x = 36 basamaklıdır.
Merdivenin basamak sayısına x diyelim.
Çıkarken atılan adım sayısı: x / 2
İnerken atılan adım sayısı: x / 3
Aradaki adım farkı 6 olduğuna göre denklemi kuralım:
x/2 – x/3 = 6 (Payda eşitleyelim)
3x/6 – 2x/6 = 6 => x / 6 = 6 => x = 36 basamaklıdır.
18. Bir çiftlikteki tavuk ve tavşanların toplam sayısı 30’dur. Bu hayvanların toplam ayak sayısı 84 olduğuna göre, çiftlikte kaç tane tavşan vardır?
Cevap: A
Bizden tavşan sayısı istendiği için tavşan sayısına x diyelim. Tavuk sayısı 30 – x olur.
Tavşanların 4 ayağı, tavukların 2 ayağı vardır. Ayak sayısı denklemini kuralım:
4 · x + 2 · (30 – x) = 84
4x + 60 – 2x = 84
2x = 24 => x = 12 tane tavşan vardır.
Bizden tavşan sayısı istendiği için tavşan sayısına x diyelim. Tavuk sayısı 30 – x olur.
Tavşanların 4 ayağı, tavukların 2 ayağı vardır. Ayak sayısı denklemini kuralım:
4 · x + 2 · (30 – x) = 84
4x + 60 – 2x = 84
2x = 24 => x = 12 tane tavşan vardır.
19. Etiket fiyatı üzerinden %20 indirimle satılan bir gömlek, defolu olduğu fark edilince indirimli fiyat üzerinden %10 daha indirim yapılarak 144 TL’ye satılmıştır. Bu gömleğin ilk etiket fiyatı kaç TL’dir?
Cevap: B
İlk etiket fiyatına 100x diyelim.
%20 indirimli fiyatı: 80x olur.
Bu fiyat üzerinden %10 daha indirim yapılıyor: 80x · (10 / 100) = 8x indirim.
Son satış fiyatı: 80x – 8x = 72x olur.
72x = 144 TL ise => x = 2 olur.
İlk etiket fiyatı: 100x = 100 · 2 = 200 TL bulunur.
İlk etiket fiyatına 100x diyelim.
%20 indirimli fiyatı: 80x olur.
Bu fiyat üzerinden %10 daha indirim yapılıyor: 80x · (10 / 100) = 8x indirim.
Son satış fiyatı: 80x – 8x = 72x olur.
72x = 144 TL ise => x = 2 olur.
İlk etiket fiyatı: 100x = 100 · 2 = 200 TL bulunur.
20. Bir dairesel grafikte bir şirketin A, B ve C departmanlarındaki çalışanların dağılımı gösterilmektedir. A departmanının merkez açısı 120°, B departmanının merkez açısı 150°’dir. C departmanında 18 kişi çalıştığına göre şirkette toplam kaç kişi çalışmaktadır?
Cevap: B
Bir daire grafiğinin toplam merkez açısı 360°’dir.
C departmanına kalan açıyı bulalım: 360° – (120° + 150°) = 360° – 270° = 90°.
Orantı kuralım:
90°’lik açıya —— 18 kişi denk geliyorsa
360°’lik (tamamı) — X kişi denk gelir
Açı 4 katına çıktığı için kişi sayısı da 4 katına çıkar: X = 18 · 4 = 72 toplam çalışan vardır.
Bir daire grafiğinin toplam merkez açısı 360°’dir.
C departmanına kalan açıyı bulalım: 360° – (120° + 150°) = 360° – 270° = 90°.
Orantı kuralım:
90°’lik açıya —— 18 kişi denk geliyorsa
360°’lik (tamamı) — X kişi denk gelir
Açı 4 katına çıktığı için kişi sayısı da 4 katına çıkar: X = 18 · 4 = 72 toplam çalışan vardır.
Yorum gönder